Procenten deel 5: de eenheid

Voor het rekenen met procentuele toename of afname wordt er vaak gewerkt met contexten waarin de tijd een rol speelt. Het uitrekenen van de toename voldoet dan aan een formule als

percentuele toename =  ^{nieuw - oud} / _oud

(als je tenminste vooruit in de tijd kijkt..)

Vaak ligt het echter wat ingewikkelder dan het rekenen met deze formule. Bijvoorbeeld de opgave uit de eerste post in deze reeks.

Een winkelier verhoogt vlak voor de uitverkoop de prijs van een product met 20% om in de uitverkoop de prijs met 20% te verlagen zonder dat hij toe moet leggen op de oorspronkelijke prijs. Lukt dat zo?

Wat 'nieuw' is blijft hier niet 'nieuw'. Daarnaast zijn er veel situaties waar 'nieuw' en 'oud' weinig tot geen betekenis hebben zoals bij het berekenen van BTW.
Uit je hoofd leren van de formule (wat lastig is want je haalt makkelijk dingen door elkaar) heeft dus eigenlijk niet zoveel zin.

Uiteindelijk is de kern dat je bij procenten in de gaten moet houden wat de referentie hoeveelheid is. Dat is de eenheid specifiek voor de context. Daarnaast heb je met procenten ook altijd met 100% als eenheid te maken. Eigenlijk creeer je met procenten voor elke context een specifieke dubbele schaal. Bijvoorbeeld als de referentie hoeveelheid 500 is:

Zonder te rekenen kun je dus beredeneren dat het 'plannetje' van onze winkelier niet werkt. Immers in het eerste geval wordt 20% genomen van een lager bedrag dan de tweede keer. Er komt dus minder bij dan eraf gaat.

Bewustzijn van de eenheid maakt het makkelijker om te herkennen wanneer je door een factor moet delen of vermenigvuldigen, zoals bij het rekenen met BTW; onderwerp van de volgende en laatste post in deze serie.

Tenslotte nog een reclame filmpje waarin ze proberen te visualiseren hoe veel 14% is. De vraag is of je in dit soort situaties geïnteresseerd bent in de absolute of relatieve hoeveelheid; een klein percentage van veel kan nog steeds veel zijn...

Deze post is onderdeel van een serie over procenten:

Deel 1: opgaven (over een aantal mooie introductie opgaven)

Deel 2: strategieën verbinden (over via lager percentage rekenen naar rekenen met een factor)

Deel 3: structuur (over de structuur h / r = f )

Deel 4: procentuele toe- en afname (over overgang van additieve naar multiplicatieve strategie)

Deel 5: eenheid (over de tenminste twee eenheden die een rol spelen)

Pi-dag

14 maart (3-14): Pi-day.

Kate Bush zong de Pi-song

Ter ere van Pi-day heb ik een nieuw board op Pinterest gemaakt:

Wetenschap 101

Vandaag ontdekte ik een videoblog die net is gestart: wetenschap 101.
Het idee is om in filmpjes van maximaal 101 seconden een onderwerp uit de (beta) wetenschap toe te lichten. Het is een initiatief van Ionica Smeet en Govert Schilling, die respectievelijk uit de wiskunde en sterrenkunde hun inspiratie halen.

Gezien de lengte van de filmpjes zouden ze ideaal kunnen zijn in de start van een les.

Ik vond het volgende filmpje over een kaart truc in ieder geval erg leuk:

http://wetenschap101.nl/waarom-werkt-deze-truc-altijd/

Faculteit

Op internet vonden we het volgende filmpje waar faculteit de hoofdrol speelt.

De uitleg wordt gedaan aan de hand van het vullen van een boekenplank. Eerst met drie boeken en dan met 10. Daarna wordt er een verrekening naar tijd gemaakt; 116 jaar om alle mogelijke arrangements neer te zetten (bij 3 min per arrangemet, 30 uur per week, en 52 weken per jaar).

21022012

21 februari j.l. was een bijzondere dag: 21022012. Bijzonder omdat het nog niet zo vaak voorkomt dat een datum zo symmetrisch is, een palindroom.

In 2012 gaat het niet meer lukken. En in 2013, dan zouden we 31 februari moeten hebben, dat kan niet. Verder zoeken dan: 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019 zijn allemaal jaren zonder palindroom. Want een datum die begint met 41, 51, 61, 71, 81, 91 lukt niet.

Maar dan 2020: dat is weer een jaar met een palindroom! Op 2 februari 2020 is het weer een bijzondere dag. Dat kunnen we vast in de agenda zetten!

Datum	Palindroom
12 februari 2021	12022021
22 februari 2022	22022022
3 februari 2030	03022030
13 februari 2031	13022031
23 februari 2032	23022032
4 februari 2040	04022040
14 februari 2041	14022041
24 februari 2042	24022042
5 februari 2050	05022050
15 februari 2051	15022051
25 februari 2052	25022052
… enz…

Wanneer was de vorige palindroom? Even terugrekenen geeft een aantal palindromen dichtbij:

Datum	Palindroom
11 februari 2011	11022011
1 februari 2010	01022010
20 februari 2002	20022002
10 februari 2001	10022001

 Het bijzondere is dat we voor het palindroom voor 2001 ver terug moeten in de geschiedenis. Want in de jaren 1900, 1800, enzovoorts waren er geen palindromen, want er zijn geen maanden met nummer 91, 81 enzovoorts. Het palindroom voor 2001 was maar liefst in 1192, op 29 november. Dat is dus heel ver terug!

Procenten deel 4: procentuele toe- en afname

In de tweede post hebben we laten zien dat een belangrijke stap voor het rekenen met procenten in het voortgezet onderwijs is om de 1% strategie (zoals we hem voor het gemak hebben genoemd) te verbinden met het zien van procentrekenen als rekenen met factoren. In de vorige post hebben we meer naar de structuur van die factor gekeken en de procent benoemd als het relatief en gestandaardiseerd vergelijken van hoeveelheden.

In deze post besteden we aandacht aan een andere belangrijke stap: het zien van een percentuele toe- of afname in termen van het vermenigvuldigen met een factor. Aanvankelijk zullen leerlingen namelijk vaak als ze een toename moeten berekenen de toename apart berekenen en die daarna bij de oorspronkelijke hoeveelheid optellen. Bijvoorbeeld:

Vorig jaar zaten er 400 leerlingen op school. Dit jaar zijn dat er 25% meer.
Je rekent dan 25% van 400 uit, dat is 100. Dit jaar zijn er dan 400+100=500 leerlingen.
Je zou toe willen naar 1.25 x 400 = 500.

 Ik heb gemerkt dat het leerlingen helpt om te laten zien hoe deze twee manieren van rekenen samenhangen; ze de structuur te laten zien. Immers,

0.25 x 400 + 400 = 0.25 x 400 + 1 x 400 = 1.25 x 400.

Hetzelfde kun je doen voor procentuele afname; Bij een afname van het aantal leerlingen met 25% kan eerst de absolute afname worden berekend, die dan vervolgens wordt afgetrokken van het oorspronkelijke aantal, maar kan ook in één keer met een factor worden gerekend.

400 - 0.25 x 400 = 1 x 400 - 0.25 x 400 = 0.75 x 400

Je zou kunnen zeggen dat je van een additieve benadering naar een multiplicatieve benadering gaat.

Nu zijn er altijd leerlingen die deze multiplicatieve manier geen meerwaarde vinden hebben. Mijn ervaring is dat het volgende voorbeeld veel overredingskracht heeft. Ik laat ze uitrekenen wat het saldo op een rekening is na een jaar met een gegeven beginsaldo en rentepercentage. Dan van de eerste twee jaar. En dan ... over 30 jaar.

Een veel voorkomend type opgave bij dit onderwerp is het omgekeerde: namelijk om uit te rekenen om hoeveel procent toe- of afname het gaat. Ook dan kun je de additieve en multiplicatieve strategie aan elkaar koppelen. Bijvoorbeeld:

Het aantal leerlingen op een school neemt toe van 400 naar 440 leerlingen.
- Je kunt eerst de absolute toename berekenen: 40 leerlingen en dat omzetten in een percentage: 40 / 400 = 10 / 100 = 10%
- Je kunt er ook voor kiezen om die 440 te relateren aan de 400: 440 / 400 = 1,1. De 1 geeft de oorspronkelijke hoeveelheid van 400 leerlingen weer en daar komt dus 10% (of 0,1 deel) bij.

 Het aantal leerlingen op een school neemt af van 400 naar 380 leerlingen.
-Je kunt eerst de absolute afname berekenen (20 leerlingen) en dat omzetten in een percentage: 20 / 400 = 5 / 100 = 5%
-Je kunt berekenen welk deel 380 van 400 is: 380 / 400 = 0.95. De afname is dan 0.05 of 5%, immers de eenheid (1) is hier 400 leerlingen. 

Hier komt duidelijk naar voren dat je een absolute afname en een relatieve afname hebt. Het is soms jammer dat deze termen vaak later bij wiskunde worden gebruikt omdat ze voor leerlingen veel duidelijk kunnen maken. Ook speelt bij procentuele afname nog wel eens wat gerommel met de min, dat wordt duidelijker als leerlingen de structuur doorzien.

De multiplicatieve factor heeft niet alleen als voordeel dat het de weg opent naar opgaven als het berekenen van 30 jaar rente (op rente). Het kan ook gebruikt worden voor een discussie over de volgorde van bewerkingen.  De voorbeeld opgave uit de eerste post:

Een toerist koopt een souvenir in een winkel. Bij de kassa vraagt hij om eerst de teruggave van de BTW te berekenen en dan pas de sales-korting van 20%; hij krijgt dan meer BTW terug en is daarmee goedkoper uit is zijn redenering. Heeft de klant gelijk?

heeft nu een makkelijke oplossing: je vermenigvuldigt het bedrag eerst met de BTW factor en dan de kortingsfactor en dat geeft hetzelfde resultaat als eerst met de kortingsfactor vermenigvuldigen en dan de BTW factor.

Een andere manier om naar de opgave te kijken is om het begrip eenheid expliciet te maken. Dat wordt onderwerp van de volgende post in deze serie.

Deze post is onderdeel van een serie over procenten:

Deel 1: opgaven (over een aantal mooie introductie opgaven)
Deel 2: strategieën verbinden (over via lager percentage rekenen naar rekenen met een factor)
Deel 3: structuur (over de structuur ^h / _r = f )
Deel 4: procentuele toe- en afname (over overgang van additieve naar multiplicatieve strategie)

Interview met Dirk Huylebrouck

In VPRO's Labyrinth een interview met de Vlaamse wiskundige Dirk Huylebrouck voordat hij een presentatie zal geven op de Nederlandse Wiskunde Olympiade.

Hij vertelt onder andere over wat voor hem wiskunde is.

Hieronder de uitzending: