De balans in balans?

Voor het oplossen van lineaire vergelijkingen maken wiskundemethoden gebruik van het balansmodel. Aan de hand van dit model wordt uitgelegd dat je bij een vergelijking links en rechts hetzelfde mag doen.

Op de balans staan bijvoorbeeld zakjes met een onbekend aantal knikkers en losse knikkers, of verschillende soorten blokjes met een bekend en onbekend gewicht. Een voorbeeld is de vergelijking 4x + 1 = 9. In het blokjesmodel betekent dit dat vier blokjes met een onbekend gewicht (maar wel ieder blokje even zwaar) en een blokje van gewicht 1, gelijk is aan 9 blokjes van gewicht 1. Vervolgens wordt er op de balans met blokjes geschoven waardoor duidelijk wordt dat de vier blokjes samen gelijk zijn aan 8. En dus is het onbekende gewicht van het blokje: 2.

Hoewel het balansmodel veel gebruikt wordt, is het niet onomstreden. In de vakliteratuur zijn voor- en tegenstanders  te vinden. Als voordeel van het balansmodel wordt gezien dat het voor leerlingen heel concreet wordt gemaakt waarom links en rechts van een vergelijking hetzelfde mag worden gedaan. Als nadeel wordt gezien dat het model mank gaat bij negatieve getallen. Voorbeelden van zakjes met een onbekend aantal knikkers (Moderne Wiskunde) of blokjes met een onbekend gewicht (Getal & Ruimte) zijn lastig bij negatieve getallen.

In het gebruik van het balansmodel wordt vaak een belangrijke vraag vaak niet gesteld, namelijk: is de balans wel in balans? In het blokjes- en knikkermodel wordt er stilzwijgend vanuit gegaan dat de vergelijking één oplossing heeft. Maar in het algemeen is dat niet zo. En meer algemeen zou de vraag dan misschien niet zozeer moeten zijn wat de oplossing is van de vergelijking (want dat suggereert dat er precies 1 oplossing is), maar meer of er waarden van x zijn die aan de vergelijking voldoen.

In mijn onderzoek vroeg ik leerlingen de vergelijking 2(3x + 2) = 3(2x - 1) + 7 op te lossen. De haakjes wegwerken levert 6x + 4 = 6x + 4 (en dus zijn alle reële getallen oplossing van deze vergelijking). Bijna alle leerlingen wisten de haakjes goed weg te werken, maar slechts een enkele leerling wist de juiste conclusie te trekken. De verwachting dat de laatste regel in het oplossingsproces ‘x = getal’ moet zijn, bleek heel sterk.  Zo sterk dat veel leerlingen uit de regel 0 = 0 concludeerden x = 0.

Een bredere benadering van het balansmodel, met een meer open vraagstelling, laat ruimte open voor vergelijkingen met geen of oneindig veel oplossingen. Ook biedt deze manier van vragen ruimte om verbindingen te leggen naar het snijgedrag van lijnen. Lijnen kunnen snijden, maar ook evenwijdig lopen en samenvallen.