Verkokering van het vermenigvuldigen van breuken

Een van de belangrijkste uitkomsten van de schoolboekenanalyse in het promotie-onderzoek van Geeke was het herkennen van een fenomeen dat we verkokering hebben genoemd. Verkokering is kort gezegd het ontstaan en inoefenen van situatie- of getalspecifieke procedures.

In de onderzochte basisschoolmethoden heb ik specifiek gekeken naar het vermenigvuldigen van breuken. Hoewel er verschillen waren tussen de methoden bleken er toch in het algemeen vier gevallen onderscheiden te worden.

1. het vermenigvuldigen van een (klein) geheel getal met een breuk wordt benaderd vanuit 'vermenigvuldigen als herhaald optellen'. Het gaat hier in het algemeen om lengtematen.
2. vanuit het 'eerlijk delen' is het vermenigvuldigen van een breuk met een groot geheel getal ontstaan. Daarin wordt leerlingen de strategie aangeleerd om eerst naar het 'eenheids-deel' te kijken, door het grote gehele getal dat in het algemeen een hoeveelheid voorstelt, eerlijk te delen. Opvallend is verder dat opgaven van dit type in de onderzochte methoden steeds een geheel getal als antwoord hebben.
3. Het vermenigvuldigen van twee 'echte breuken' (tussen 0 en 1) wordt gevisualiseerd met behulp van een rechtheok met de oppervlakte als eenheid. (rechthoek model)
4. Los hiervan wordt voor gemengde getallen (bijvoorbeeld 3 2/5) een splits-strategie aangeleerd.

Deze vier strategieën waren getalspecifiek en ze hadden elk hun eigen model. Vanuit dit conglomeraat van getalspecifieke procedures die elk in een geheel eigen context worden geplaatst is de overgang naar het vermenigvuldigen van breuken als onbenoemde getallen niet vanzelfsprekend. In die zin zou het inoefenen van de getalspeciefieke procedures niveauverhoging in de weg kunnen staan. De aansluiting met de schoolboeken van de brugklassen is hierdoor slecht.
De verkokering van het vermenigvuldigen van breuken kwam overigens niet alleen in de schoolboeken van groep 8 naar voren maar ook in oefenboeken voor de PABO toets, waarmee het in zekere zin een eindniveau is dat wordt nagestreefd.

Meer over dit onderdeel van het onderzoek is terug te vinden in een artikel dat ik schreef voor Nieuw Archief voor Wiskunde.

We zullen op deze verkokering regelmatig terugkomen omdat we het inmiddels veel breder herkennen dan alleen bij het vermenigvuldigen van breuken.