Deelbaarheid door 9

Als een getal deelbaar is door 9, dan is de som van zijn cijfers dat ook.

 Sterker nog de som van de cijfers geeft bij delen door 9 dezelfde rest als wanneer het getal zelf door 9 wordt gedeeld.

Even een testje: 8760 : 9 = 973 rest 3 en (8+7+6+0) : 9 = 21 : 9 = 2 rest 3. KLOPT!!

Nu is deze post geen pleidooi om deze inmiddels steeds minder bekende 'deelbaarheidsregel' een verplicht onderdeel van het (reken-)wiskunde curriculum te maken. Ik schrijf er hier over uit een soort nostalgische redenen--ik weet nog dat mijn leraar in klas 6 van de basisschool probeerde uit te leggen hoe het zat; begreep er toen niets van maar vond het wel errug interessant--, en omdat ik wat aardige filmpjes tegenkwam op internet die hier gebruik van maken. Ik hoop dat het u op ideëen brengt.....

Hoe zit dat nu ..
Je kunt de boel wat formeler bekijken: een getal als bijvoorbeeld 81 kun je schrijven als
8 * 10 + 1 = 8 * (9 +1) + 1 = 8 * 9 + 8 + 1.

In zijn algemeenheid zou je kunnen zeggen dat het getal ab te schrijven is als
10a + b = 9a + a + b

Deel je door 9 dan houdt je 8 + 1 of a + b over.

Meer informeel zou je kunnen zeggen dat als je ergens 9 bij optelt, je er ook voor kunt kiezen om er 10 bij op te tellen en er dan weer 1 vanaf te halen. Of te wel: het tiental gaat 1 omhoog en de eenheid 1 omlaag. Samen blijft het evenveel. Beginnend bij 9 is dat totaal dus altijd 9. Dit gaat in ieder geval op tot 90, voor hogere getallen moet je nog even wat verder redeneren.

Op het honderd-veld is dit overigens heel mooi te zien aan de veelvouden van 9. En eventueel kleur je alle getallen met rest 1 groen, rest 2 blauw, rest 3 geel, enz.

Toepassingen (in de breedste zin van het woord)
Deze eigenschap van delen door 9 of deelbaarheidsregel kwam ik zo maar ineens op heel verschillende plekken tegen..

Onze aannemer vertelde vol trots toen we het over rekenen hadden, dat hij vroeger de negenproef had geleerd. Voor het hoofdrekenen een makkelijke controle van de uitkomst.

De tafel van 9 op je vingers
Bij de tafel van 9 is het leerlingen vast wel eens opgevallen dat de cijfers samen altijd 9 zijn: 1 + 8 = 9, 2 + 7 = 9 , enz. Nu hebben we 10 vingers, negen vingers en één vinger om aan te geven welk veelvoud we hebben moeten de bedenkers van de volgende truc/ezelsbrug gedacht hebben......

Gedachtenlezen
Tot slot lijkt het me een mooie uitdaging voor leerlingen in het VO om onderstaande truc te doorgronden:

Ambiguïteit: de rol van variabelen (2)

Variabelen kunnen verschillende rollen hebben. Zo kan een x staan voor één enkel, maar onbekend getal. Maar x kan ook staan voor verschillende waarden. In mijn promotieonderzoek heb ik leerlingen gevraagd de volgende vergelijking op te lossen 2 (3x + 2) = 3(2x + 1) + 7.  Als de haakjes zijn weggewerkt, dan komt er te staan 6x + 4 = 6x + 4. Het besef dat deze vergelijking klopt welk getal je ook neemt voor x bleek heel lastig voor VWO-leerlingen. De overgrote meerderheid wist de haakjes goed weg te werken, bracht de x-en naar links en de getallen naar de rechterkant van het =-teken. Vervolgens kwam er 0 = 0 te staan, en bleek het moeilijk om daar de betekenis van te zien.

In een aanvullende studie naar deze vergelijking legde ik leerlingen naast deze vergelijking, nog twee andere vergelijkingen voor. De tweede was 2(3x + 2) = 3(2x + 1) + 5 die 6x + 4 = 6x + 8 geeft na het wegwerken van de haakjes en dus geen oplossingen heeft. En de derde vergelijking 2(3x + 2) = 2(2x + 1) + 8 waar x = 3 uitkomt.

De laatste vergelijking ging veruit het beste: daar gebeurt namelijk precies dat wat leerlingen verwachten en eindigt de laatste regel op x = getal. De tweede vergelijking, waar die eindigt op 6x + 4 = 6x + 8, of 4 = 8, ging al een heel stuk minder goed. Deze druiste al aardig in tegen de verwachting dat de laatste regel x = getal moet zijn. Het grootste probleem bleek toch de eerste.

De moeilijkheid van deze vergelijking kan worden verklaard vanuit het idee van verschillende rollen van de variabele x. De verwachting dat de laatste regel x = getal moet zijn, is gebaseerd op het idee dat x één getal is, een onbekende die gevonden moet worden. Dat is een andere rol dan in de situatie waar links en rechts van het =-teken hetzelfde komt te staan. Want in die situatie heeft x niet een vaste (maar nog onbekende) waarde, maar kan x voor veel verschillende waarden staan. Voor leerlingen is dat een grote overgang.

Wat te doen?

Een abstract verhaal in de klas over de ambiguïteit van variabelen lijkt me geen goed idee. Wel denk ik dat het verstandig is om bij het oplossen van vergelijkingen koppelingen te maken naar de betekenis. Die betekenis kan zijn wat voor getallen kunnen we voor x invullen opdat deze vergelijking klopt. Dit geeft de mogelijkheid om het te hebben over een, of meerdere oplossingen of geen oplossingen.

Ook kan er een koppeling worden gelegd naar het snijgedrag van lijnen zoals wat kunnen lijnen doen (snijden, evenwijdig lopen, samenvallen) en wat voor type lineaire vergelijking hoort daar dan bij (1 oplossing, 0 oplossingen, alle reële getallen als oplossing). Deze koppeling geeft leerlingen handvaten om conclusies te trekken uit expressies als 0 = 0.

Citaten van Poincaré en Fourier

Ooit vond ik deze twee citaten van zeer bekende wiskundigen:

"Mathematics is the art of giving the same name to different things" J.H. Poincaré

en

"Mathematics compares the most diverse phenomena and discovers the secret analogies that unite them". Jean Baptiste Joseph Fourier

Mooie voorbeelden van kracht van wiskunde en de ambiguiteit die daarin voorkomt.

Ambiguïteit in de wiskunde

In eerdere posts (het = teken en de rol van variabelen) hadden we het al over ambiguïteit.
Een heel heldere uiteenzetting over dit begrip heeft in Euclides gestaan in een stuk van de hand van Ronald Meester (pagina 26 van de pdf).

Meester legt o.a. door referenties naar het werk van William Byers een aantal voorbeelden van ambiguïteit uit en geeft aan wat het belang is van ambiguïteit voor de wiskunde.

Het stuk is zeer de moeite van het lezen waard. Hier een tweetal citaten uit het stuk om u lekker te maken:

"Byers laat in zijn boek zien dat wiskunde vooral gaat over ambiguïteit, en veel minder over precisie en logica; de kracht (en schoonheid) van de wiskunde wordt vooral bepaald door de manier waarop ze met ambiguïteit om weet te gaan. Het beschouwen en oplossen van een ambiguïteit is de kern van het bedrijven van wiskunde."

"Dit is niet makkelijk in de praktijk te brengen, dat geef ik onmiddellijk toe, maar dat mag geen reden zijn om het niet te doen. Wiskunde wordt beduidend leuker wanneer je op een speelse manier leert om te gaan met ambigue situaties dan wanneer ze in een ‘definitie-keurslijf ’ wordt gepropt waarin ze zich niet kan ontwikkelen."

Bron: Ronald Meester. In reactie op Hessel Pot. Euclides 85/2 pp 76-77

Ambiguïteit: de rol van variabelen

In de literatuur is veel te vinden over waarom wiskunde moeilijk wordt gevonden door veel mensen. Een van de thema’s die daar een rol in speelt is ambiguïteit. Zo is de breuk ¾ zowel de deling van 3 door 4, als het resultaat van die deling. Afhankelijk van de situatie is het handig om ¾ als een deling te zien of juist als een zelfstandig object. Een ander voorbeeld is de expressie 2x + 3. Dit is zowel de optelling van 2x en 3, als het resultaat van die optelling. In onze onderzoeken hebben we gezien dat leerlingen worstelen met deze verschillende betekenissen.

Verschil in betekenis wordt in de literatuur ook beschreven met betrekking tot variabelen. Vergelijk het verschil in betekenis van x in de vergelijkingen x + 3 = 5 en y = ax + b. In de eerste is x een getal met een nog onbekende waarde, een onbekende. In de tweede vergelijking, de algemene vergelijking van een lijn, heeft x een andere rol. Hier is x niet een waarde die we nog niet kennen, geen onbekende, maar staat x voor zomaar een getal.

Een docent informatica uit het HO vertelde dat zijn eerstejaars studenten moeite hadden met die verschillende rollen van variabelen. Een bepaalde relatie (prefix zijn, d.w.z. een ononderbroken beginstuk zijn) werd weergegeven met het symbool ≤. Vervolgens moesten studenten eigenschappen bewijzen van die relatie. Ze verwarden daarbij de betekenis van het symbool ≤ ; ze dachten in de relatie tussen getallen (kleiner dan) in plaats van de betekenis die zojuist in een definitie aan dat symbool was toegekend (namelijk: prefix zijn).

We denken dat leerlingen en studenten kunnen worden geholpen in hun worsteling met ambiguïteit als die verschillende rollen worden besproken en als duidelijk wordt hoe die verschillende betekenissen met elkaar samenhangen.

Wordt vervolgd…

Wiskunde in het donker

De afgelopen jaren --en vooral tijdens mijn promotie als je daar ook de tijd voor neemt-- heb ik veel nagedacht over wat wiskunde nu voor mij is, wat het betekent om wiskundige te zijn, te doen, enzovoort. Vragen waarop je het antwoord natuurlijk nooit helemaal in woorden kunt uitdrukken. Maar af en toe doe je wel een poging net als vele anderen.

Andrew Wiles spreekt tot de verbeelding en op youtube heb ik met veel belangstelling de documentaire die over hem is gemaakt bekeken. (De link staat onderaan deze post).

De documentaire begint met Andrew Wiles die het volgende zegt:

"Perhaps I could best describe my experience of doing mathematics in turns of entering a dark mansion. One goes into the first room and it's dark, really dark. One stumbles around bumping into the furniture. And gradually you learn where each piece of furniture is. And finally after six months or so you find the light switch, you turn it on and suddenly it is all illuminated. You can see exactly where you were."

Voor mij is dit citaat veelbetekend. Ik heb het daarom ook in mijn proefschrift voor mijn inleiding gezet. Ten eerste laat het zien dat wat zo'n voldoening kan geven aan wiskunde: de zoektocht en wat doorzetten je oplevert. Het beetje bij beetje verder komen. Een schril contrast met de geplaveide wegen die leerlingen soms krijgen aangeboden (zie bv post over kritiek op schoolboeken van Dan Meyer).
Zo is er ook een mooi citaat van W.S. Anglin:

"Mathematics is not a careful march down a well-cleared highway, but a journey into a strange wilderness, where the explorers often get lost. Rigor should be a signal to the historian that the maps have been made, and the real explorers have gone elsewhere."

Ten tweede verwoordt het iets dat Anna Sfard reïficatie noemt: de kwartjes vallen en ineens wordt alles duidelijk. Deze stap is nodig om tot niveauverhoging te komen; om voort te kunnen bouwen op de eerdere wiskunde die je hebt geleerd. Het belang van het herkennen van de structuur.
En dat is zelfs bij de meest elementaire wiskunde zo. Hoe meer ik met de didactiek van het rekenen bezig ben, hoe meer ik (her) ontdek in die basis, en waardeer hoe mooi het in elkaar zit.

Hier de documentaire over "Fermat's last theorem" en het werk van Andrew Wiles

of via deze link

Tussen strategie en truc

Met een meisje uit groep 5 had ik een gesprek over het leren van de tafels. Ze legde uit hoe ze 8 x 6 uitrekent. Ze had daar een handige truc voor geleerd, zo vertelde ze, en liet zien hoe ze dat gaat.

“Eerst doe je 2 x 6,” zei ze. “Dat is makkelijk, dat is 12. Dan maak je van die 8 in het sommetje 8 x 6 een 4 van de 8. Vervolgens doe je 2 x 12. Dat is eh, even denken, dat is 24. En dan maak je van die 4... eh…nou weet ik het even niet, wordt dat dan een 2 of een 4? Ik denk een 4, want twee keer vier is acht. Dus dan moet je nog 24 x 4. Maar dat kan ik niet uitrekenen!”

Natuurlijk is het zomaar een gesprekje, met maar 1 leerling. Toch denk ik dat dit voorbeeld een probleem in het huidige rekenonderwijs illustreert. Geeke heeft in haar proefschrift laten zien dat het rekenonderwijs verkokerd is. Daarmee bedoelt ze dat er getal- en gevalspecifieke strategieën worden aangeleerd. Het gevaar hiervan is dat rekenen een soort trucjes uit je hoofd leren wordt met voor elk sommetje een andere truc. Waarom de trucjes werken is dan niet meer zo duidelijk.

De strategie waar deze leerling aan refereert bij het uitrekenen van 8 x 6 gaat om het verdubbelen. Een bekende strategie, die zeker zijn waarde heeft. Maar de waarde van die strategie wordt vooral bepaald door het begrip dat erbij hoort. Echt goed begrijpen dat vermenigvuldigen met 8 overeenkomt met 3 keer verdubbelen, is nog niet zo eenvoudig. Daarvoor moet je snappen dat 8 = 2 x 2 x 2, en dat in plaats van in een keer x 8 doen hetzelfde is als x 2, dan nog eens x 2 en dan nog eens. Het meisje in dit voorbeeld had die relatie nog niet gelegd. En als die relatie er niet is, dan verwordt die verdubbelingsstrategie tot een truc, die zomaar fout kan gaan.

Statistiek volgens Guido Weijers

Gisteren keek ik op televisie naar Guido Weijers. Er kwam een erg leuk stukje statistiek langs, over de misconcepten die je daarbij kunt hebben. Jammer dat ik op dit moment niet voor de klas sta ....

(het fragment begint bij 54:07, directe link naar start fragment hier)

Schoolboeken in de ogen van Dan Meyer

Al een hele poos geleden kwam ik een TED filmpje tegen van Dan Meyer.

Op een moment in dat fimpje zegt hij ongeveer het volgende . .
"I hope that you can see .... that what we are  doing here is that we are taking a compelling question, a compelling answer. .. but we are paving a smooth straigth path from one to the other and congrateluating our students on how well they can step over the small cracks in the way. "  dat zijn punt redelijk samenvat.

Hij laat op zeer humoristische wijze zien dat de manier waarop opgaven in de Amerikaanse schoolboeken zijn opgebouwd, leerlingen precies stapje voor stapje voorschrijven wat ze moeten doen. Hij vat het resultaat als volgt samen: lack of initiative - lack of perseverance - lack of retention - aversion to word problems - eagerness for formula. Hij noemt dit "impatient problem solving". Leerlingen leren niet blijvend, ze zijn altijd op zoek naar een formule die ze in moeten vullen, weinig geduld als het even niet lukt, enzovoort.

Zijn oplossing is om de opgaven uit te kleden tot de essentie van het probleem, zonder de gegevens alvast te geven. Ook het bedenken van wat je nodig hebt om een probleem op te lossen vindt hij een belangrijk onderdeel voor het wiskundecurriculum. En geeft hij aan: "be less helpfull". En dat is natuurlijk best lastig als je als docent het onderwijs in gaat omdat je leerlingen juist wilt helpen.

Het punt dat Meyer maakt is ook herkenbaar in het Nederlandse onderwijs en ligt misschien wel dicht tegen de houding die ook in het onderzoek van Femke Nijland naar voren kwam (zie onze eerdere post over haar proefschrift). Ook in ons onderzoek hebben we gemerkt dat leerlingen opgaven die even buiten de gebaande paden lagen met veel moeite wisten te beantwoorden of helemaal niet.

Aansluiting voortgezet onderwijs – hoger onderwijs

In mijn proefschrift heb ik de ontwikkeling van algebraïsche vaardigheden onderzocht van VWO-leerlingen. Leerlingen die naar het hoger onderwijs gaan hebben een stevige bagage wiskunde nodig. Dat geldt voor leerlingen die exacte vakken willen gaan studeren, maar ook voor leerlingen die een economische richting op willen of de sociale wetenschappen. McCallum (2010) heeft een aantal prachtige voorbeelden over vaardigheden die van belang zijn in het hoger onderwijs:

• herkennen dat P(1 + ^r/₁₂) ¹²ⁿ  lineair is in P (economie);
• zien dat ^n(n+1)(2n+1)/₆ een derdegraads polynoom is met coëfficient ¹/₃ (calculus)
• observeren dat L₀√{1 - (^v/_c)²} verdwijnt als v = c (natuurkunde)
• begrijpen dat ^σ/_√n halveert als n wordt vermengvuldigd met 4 (statistiek)

In mijn onderzoek heb ik VWO-leerlingen een jaar gevolgd. In die periode heb ik vier toetsen afgenomen. De vragen in die toetsen varieerden van procedureel tot meer diepgaand en gingen over zowel rekenen als algebra. Uit het onderzoek kwam naar voren dat leerlingen wel iets vooruit gaan, maar niet zoveel. De meerderheid van de opgaven was te lastig voor leerlingen uit VWO 2 en bleef lastig voor VWO 6 leerlingen. Waren de opgaven dan zo moeilijk?

De opgave die door bijna alle leerlingen werd beheerst is: werk de haakjes weg in -4(3a+b). Een voorbeeld van een opgave die door minder dan 10% van de VWO 6 leerlingen werd beheerst is los op: (x - 5)(x + 2)(x - 3) = 0. We hebben deze opgave in een soort extra dataverzameling ook voorgelegd aan eerstejaars studenten van de technische universiteit. Ook de studenten vonden deze opgave heel lastig. Veel leerlingen en studenten werken braaf de haakjes weg en vinden vervolgens de ontbinding niet! Interessant zou zijn om leerlingen en studenten (x - 5)(x + 2) = 0 voor te leggen. Ik ben heel benieuwd of ze ook dan de haakjes weg gaan werken.

Uit mijn onderzoek kwam naar voren dat VWO-leerlingen een smalle beheersing hebben van algebraïsche vaardigheden. Als vragen net iets anders zijn, weten ze al gauw niet meer wat te doen. Het gevolg is dat leerlingen in het VWO niet goed voorbereid lijken te worden op juist die vaardigheden zoals in de voorbeelden hierboven.

Literatuur

McCallum, W. (2010). Restoring and balancing. In Z. Usiskin, K. Andersen, &

N. Zotto (Eds.), Future curricular trends in school algebra and geometry: Pro-

ceedings of a conference (pp. 277{286). Charlotte, Information Age Publishing

Inc.

Proefschrift Femke Nijland

Op dinsdag 20 december 2011 promoveerde Femke Nijland in Tilburg met het proefschrift "Mirroring interaction, an exploratory study into student interaction in independent working".

Nijland kijkt in dit onderzoek vanuit een linguïstisch perspectief naar het voortgezet onderwijs. Hoewel het onderzoek niet specifiek gericht is op het wiskunde onderwijs geeft het onderzoek wel inzicht in iets dat met de dagelijkse gang van zaken in de wiskundeles te maken heeft. Ze onderzocht namelijk hoe leerlingen met elkaar praten tijdens zelfstandig werken in de les, dus op het moment dat leerlingen aan het werk gaan met het maken van opgaven uit het boek en daarbij met hun buurman of buurvrouw mogen overleggen. Ook bij wiskunde een vertrouwde situatie.

Een aantal bevindingen willen we hier in het bijzonder noemen.

Het proefschrift start met een hart onder de riem. In het eerste deelonderzoek bleek dat de onderzochte leerlingen in zo'n 80% van hun interactie over de opdracht praatten en slechts zo'n 20% over privé-zaken. Leerlingen switchten vaak naar deze privé zaken als ze de opdracht niet snapten of wanneer ze klaar waren. Geklets tijdens zelfstandig werken blijkt daarmee een goede functie te hebben voor het signaleren van problemen.....

Maar... de studie toont ook aan dat de leerlingen een groot deel van hun interactie gebruikten om helder te krijgen wat ze nu precies moesten doen, volgens de opdracht in het boek en volgens de docent. De functie van taal waarmee kennis geconstrueerd wordt gebruikten de leerlingen maar weinig. Interessant was dat wanneer een van de leerlingen toch kennis construeerde, door een redenering of een hypothese uit te spreken, de andere leerling hem afkapte met een verwijzing naar de correcte procedure: redeneren was immers nooit expliciet onderdeel van de taak. In sommige gevallen werd de redenering zelfs helemaal genegeerd. Daarmee kwam ook de vakinhoud onder druk te staan.

Leerlingen bleken in hun interactie met elkaar het taalgebruik van de docent te spiegelen. De docent instrueerde zijn leerlingen met dezelfde procedure-gerichte taalfuncties en gebruikte ze op dezelfde manier als zijn leerlingen vervolgens onderling deden. Leerlingen spraken met elkaar zoals hun docent met hen sprak. Leerlingen leken het taalgebruik van hun docent over te nemen als de juiste manier van praten. De docent is daarmee niet alleen een leraar, maar ook een rolmodel op verschillende niveau’s. Als een docent zijn leerlingen vooral instrueert, praten leerlingen vooral met elkaar in termen van wat ze moeten doen.

Zou die observatie betekenen dat om leerlingen ànders met elkaar te laten praten, de docent alleen zijn taalgebruik hoeft aan te passen? Ja en nee, zegt Nijland. In haar laatste deelonderzoek heeft ze geprobeerd om docenten anders met hun leerlingen te laten praten. In de gevallen waarin ze daarin slaagde, construeerden de leerlingen inderdaad meer kennis. Het was echter behoorlijk moeilijk voor de docenten om andere taalfuncties te gebruiken. Nijland geeft als verklaring dat een andere manier van praten, onderdeel worden van een andere cultuur vergt en dat is niet van de een op de andere dag gerealiseerd. Nijland pleit er dan ook voor dat docenten zich bewust worden van hoe ze met hun leerlingen praten en welk effect dat heeft op het leren van leerlingen. Alleen dan kunnen docenten leren hun manier van praten in te zetten om hun onderwijsdoelen te bereiken.

Links:

Nieuwsbericht over het proefschrift

Proefschrift online

Verkokering van het vermenigvuldigen van breuken

Een van de belangrijkste uitkomsten van de schoolboekenanalyse in het promotie-onderzoek van Geeke was het herkennen van een fenomeen dat we verkokering hebben genoemd. Verkokering is kort gezegd het ontstaan en inoefenen van situatie- of getalspecifieke procedures.

In de onderzochte basisschoolmethoden heb ik specifiek gekeken naar het vermenigvuldigen van breuken. Hoewel er verschillen waren tussen de methoden bleken er toch in het algemeen vier gevallen onderscheiden te worden.

1. het vermenigvuldigen van een (klein) geheel getal met een breuk wordt benaderd vanuit 'vermenigvuldigen als herhaald optellen'. Het gaat hier in het algemeen om lengtematen.
2. vanuit het 'eerlijk delen' is het vermenigvuldigen van een breuk met een groot geheel getal ontstaan. Daarin wordt leerlingen de strategie aangeleerd om eerst naar het 'eenheids-deel' te kijken, door het grote gehele getal dat in het algemeen een hoeveelheid voorstelt, eerlijk te delen. Opvallend is verder dat opgaven van dit type in de onderzochte methoden steeds een geheel getal als antwoord hebben.
3. Het vermenigvuldigen van twee 'echte breuken' (tussen 0 en 1) wordt gevisualiseerd met behulp van een rechtheok met de oppervlakte als eenheid. (rechthoek model)
4. Los hiervan wordt voor gemengde getallen (bijvoorbeeld 3 2/5) een splits-strategie aangeleerd.

Deze vier strategieën waren getalspecifiek en ze hadden elk hun eigen model. Vanuit dit conglomeraat van getalspecifieke procedures die elk in een geheel eigen context worden geplaatst is de overgang naar het vermenigvuldigen van breuken als onbenoemde getallen niet vanzelfsprekend. In die zin zou het inoefenen van de getalspeciefieke procedures niveauverhoging in de weg kunnen staan. De aansluiting met de schoolboeken van de brugklassen is hierdoor slecht.
De verkokering van het vermenigvuldigen van breuken kwam overigens niet alleen in de schoolboeken van groep 8 naar voren maar ook in oefenboeken voor de PABO toets, waarmee het in zekere zin een eindniveau is dat wordt nagestreefd.

Meer over dit onderdeel van het onderzoek is terug te vinden in een artikel dat ik schreef voor Nieuw Archief voor Wiskunde.

We zullen op deze verkokering regelmatig terugkomen omdat we het inmiddels veel breder herkennen dan alleen bij het vermenigvuldigen van breuken.

Arcavi in Nederland

Twee weken geleden was professor Abraham Arcavi van het Weizmann Institute of Science in Nederland. Hij had zitting in de promotiecommissie van Christian Bokhove en twee dagen later in de commissie van Irene. Tussendoor hield hij een zeer inspirerende presentatie op het minisymposium Algebra en ICT.

In zijn werk, waarvan symbol sense misschien het bekendste onderdeel is, zijn zijn wiskundige achtergrond en ruime ervaring als docent duidelijk merkbaar. Een van zijn artikelen Symbol Sense: Informal Sense-making in Formal Mathematics is hier te vinden.

In zijn presentatie lag de focus op het geven van betekenis. Arcavi liet zien dat ook in het onderwijs algebra en meetkunde elkaar aan kunnen vullen, net zoals het in de geschiedenis van de wiskunde een enorme vooruitgang betekende toen deze twee velden samenkwamen.

Een van de voorbeelden in zijn presentatie was de oppervlakte van een trapezium. Door deze op twee manieren te bekijken krijgt de "formule" voor de oppervlakte ineens twee perspectieven. En juist die flexibele manier van kijken naar expressies is zo belangrijk bij het leren en het op een hoger plan tillen van de algebraïsche basisvaardigheden.

Je kunt de oppervlakte zien als de oppervlakte van een rechthoek met de breedte het gemiddelde van zijden a en b. Ook kun je het figuur verdubbelen en de kennis van de oppervlakte van een parallellogram gebruiken. Die oppervlakte is (a+b)h. Die oppervlakte is dan het dubbele van de gevraagde oppervlakte van het trapezium.

Daarna liet hij zien hoe hij kinderen met een meetkunde programma liet redeneren over een lineair en kwadratisch verband, zonder ze al met symbolen te laten werken. Hij gebruikte daarvoor een deel van de oppervlakte van een rechthoek en later een driehoek. Daarbij werd een grafiek getekend. Een mooi voorbeeld van het pas later gebruiken van symbolen. In een latere post zullen we hier nog wel verder op ingaan. Juist door situaties te creëren die tegen je eerste gevoel in te gaan, wist hij te verrassen, en dat ondersteund het leerproces.

Een zeer inspirerend verhaal dus.

Lesidee: vermenigvuldigen zoals de Maya's

Op internet en dan vooral op youtube ben ik ze in verschillende gedaanten tegen gekomen: het vermenigvuldigen door lijnen te tekenen, ook wel Mayan Multiplication genoemd. Bijvoorbeeld:

(http://www.youtube.com/watch?v=sd_Bub5jEJY)
Of ze het vermenigvuldigen nu zoveel makkelijker maken, zoals de titels van de filmpjes beloven, weet ik niet, maar je kunt deze methode wel gebruiken om met leerlingen te kijken hoe het nu precies werkt. Een mooi voorbeeld van de distributieve eigenschap en de mogelijkheid om weer eens even de structuur van ons positiestelsel te bekijken. Bovendien de mogelijkheid om intuitief met wiskundige bewijzen aan de slag te gaan.

'Mayan multiplication' werkt in het kort als volgt:

Als je 21 x 23 uit wilt rekenen, teken je eerst de lijnen die 21 en 23 representeren. Voor 21 in het voorbeeld 2 zwarte lijnen en daarnaast 1 zwarte lijn; je werkt dus van links naar rechts. Dan voor 23 de rode lijnen, eerst twee en dan 3; weer van links naar rechts. Vervolgens ga je snijpunten tellen en zo kom je op het antwoord 483.

Aan het begin van een les, waarin we bezig waren met het wegwerken van haakjes liet ik een filmpje hierover van youtube zien en daagde de leerlingen uit of ze me uit konden leggen hoe het werkte. Niets was verplicht, ze konden hier nog even over na denken, maar mochten ook met opgaven uit het boek aan de slag gaan.

Bij het rondlopen door de klas zag ik opvallende verschillen. Een behoorlijk aantal leerlingen was door het probleem gegrepen. Een deel van de leerlingen ging me laten zien hoe ik dat met andere getallen kon doen, dus voorbeelden geven. Een deel ging onderzoeken hoe dat nu zat in moeilijkere gevallen, bijvoorbeeld als er een nul in de te vermenigvuldigen getallen stond, als je met grotere getallen werkt of als het aantal snijpunten in een 'kolom' groter is dan 9. Deze leerlingen daagde ik verder uit om ook na te denken waarom je de snijpunten op deze manier moest optellen. Een deel van de leerlingen was zelf op deze manier naar het probleem aan het kijken, en kwam al met een echt (informeel) bewijs. Het was verrassend hoeveel leerlingen (ook leerlingen die over het algemeen geen hoge cijfers voor wiskunde haalden) tot een oplossing kwamen.

Doelgroep: onderbouw VO bij introductie haakjes wegwerken, eventueel bovenbouw PO voor A leerlingen bij overgang informeel vermenigvuldigen naar cijferend vermenigvuldigen.
Concepten die aan de orde komen: opbouw decimale getallen (21 = 2x10+1), vermenigvuldigen als oppervlakte, distributieve wet (a x (b+c) = a x b + a x c), 'bewijzen is meer dan voorbeelden geven'.

De ambigue =

In onze onderzoeken speelt ambiguïteit van wiskundige begrippen een grote rol. Ambiguïteit heeft over het algemeen een nogal negatieve connotatie. Dubbelzinnigheid, voor meerdere uitleg vatbaar en tweeslachtigheid; het klinkt allemaal niet zo positief. Toch is het een kern 'kwaliteit' van de wiskunde dat het zo goed met die dubbelzinnigheid om kan gaan. En het maakt wiskunde soms ook lastig om te leren.

De eerste keer dat ik daar in de klas bewust tegenaan liep was toen mijn uitleg stokte toen ik argeloos in plaats van 4 = x, x = 4 op het bord schreef. Een van mijn leerlingen snapte er helemaal niets meer van. Het duurde alleen even voor ikzelf en met mij haar mede leerlingen (die welwillend probeerden te helpen) door hadden dat het probleem was dat deze leerling het '=' teken niet herkende als equivalentie of 'aan beide kanten staat hetzelfde'. Voor haar was het een teken van 'iets dat uitgerekend moest gaan worden' zoals de knop op de rekenmachine. En tja, in die laatste betekenis is het inderdaad niet zo vanzelfsprekend dat je de linker en rechter kant mag verwisselen.

In de vakdidactische literatuur is dat al lang bekend en worden dit de procedurele en relationele betekenis van het '='-teken genoemd. Andere voorbeelden in dezelfde sfeer zijn 'x' als herhaald optellen en oppervlakte, ':' als verdelen en afpassen, en '-' als aftrekken en negatief.

Nu lijkt het er misschien op dat je in elke afzonderlijke context kunt bepalen welke betekenis op dat moment aan zo'n teken moet worden gegeven. Zo wordt er zelfs wel eens een typografisch verschil gemaakt tussen de 'aftrek-min' en de 'negatief-getal-min', zoals ook op de rekenmachine. Maar schijn bedriegt, de kern is namelijk dat je wel betekenissen kunt onderscheiden, maar dat ze nooit helemaal te scheiden zijn. En dat is misschien wel de kracht en schoonheid van die ambiguïteit.

We zullen hier op onze blog nog wel een aantal keren op terug komen.

Lesidee: de symmetrie-as van een parabool

In de klassen 3 die ik heb les gegeven, merkte ik dat een deel van de leerlingen het lastig vindt om zich bij de abc-formule het hoe en waarom van zo'n formule voor te stellen.

In de VWO klassen heb ik die abc-formule daadwerkelijk samen met de leerlingen afgeleid. Een hele 'onderneming' maar erg de moeite waard. Ik begon dan met het afleiden van een algemene formule voor de symmetrie-as van een parabool. Dat laatste is ook een geschikte activiteit als je niet van plan bent om de abc-formule met een klas af te leiden, bijvoorbeeld als het niveau van de leerlingen daar niet de mogelijkheid voor geeft. Het leverde me een aantal voordelen:

• leerlingen kregen inzicht in het ontstaan van dergelijke formules, de abc-formule kwam niet meer zomaar uit de hoge hoed.
• door het herkennen van de symmetrie-as krijgt de abc-formule een ander gezicht, daar herkennen leerlingen dan ineens de symmetrie in.
• bij de afleiding kun je de representatievormen van een verband (tabel, grafiek en formule) met elkaar verbinden.
• het is een mooie oefening in het rekenen met letters, en het denken in families van functies en parameters

Stap 1: de symmetrie van een parabool

Afhankelijk van wanneer deze les ingepast wordt kan er op verschillende manieren aandacht besteed worden aan de symmetrie van een parabool. Belangrijk is dat leerlingen ontdekken dat als je de parabool op willekeurig plek snijdt met een horizontale lijn, die snijpunten even ver van de symmetrie-as liggen. Dat kan in een tabel en een grafiek. De symmetrie-as vind je dan door het gemiddelde van de x-waarden te nemen. De top van de parabool ligt op de symmetrie-as.

Stap 2: de symmetrie-as vinden in een concreet geval

Je zou dat kunnen doen met bijvoorbeeld: y = 2x² + 5x + 7

Ontbinden in factoren (ofwel snijpunten met x-as te vinden) is voor dit geval niet handig. Daarom vraag ik de leerlingen of er niet een andere lijn dan y = 0 is te vinden, waardoor een vergelijking ontstaat die wel makkelijk op te lossen is. We komen dan op y=7 en 2x² + 5x + 7 = 7 om op te lossen. Dat wordt opgelost als

2x² + 5x = 0,
x(2x + 5) =0
x = 0 of x = -2,5

De snijpunten van de parabool met de lijn y = 7 zijn: (0,7) en (-2.5,7). De symmetrie-as ligt bij
x = -1,25. De top van de parabool kan in dit geval ook nog uitgerekend worden door deze x-waarde in te vullen.

Stap 3: de symmetrie-as vinden voor y = ax² + bx + c

In deze stap kun je laten zien dat er je op dezelfde manier als in het eerste voorbeeld de symmetrie-as kunt vinden voor deze 'algemene' parabool. Het is voor leerlingen inzichtelijk als de twee berekeningen naast elkaar staan. Op eenzelfde manier wordt dan de parabool gesneden met y = c en worden de snijpunten (0, c) en (-b/a,c) gevonden. De symmetrie-as is dus x = -b/2a.

Stap 4: de formule gebruiken

Nu is het tijd om de gevonden formule te gebruiken. Dat doe ik vaak voor het voorbeeld dat we eerst hebben gebruikt: y = 2x² + 5x + 7 . Leerlingen kunnen dan zien welk voordeel zo'n formule heeft: de berekening is erg eenvoudig en kort. Ook de top is op deze manier snel gevonden. Leerlingen leren op deze manier alvast om te gaan met het benoemen en invullen van a, b en c in een formule die veel eenvoudiger is dan de abc-formule en waarvan ze bovendien de betekenis erg goed kennen omdat ze de formule zelf hebben gevonden.

Vervolg

Mijn ervaring is dat een deel van de leerlingen de formule daadwerkelijk gaat gebruiken, ook al was dat niet eens de eerste opzet van deze les. Op verschillende manieren kun je doorgaan op deze les.

• Leerlingen vragen waarom de 'c' niet in de formule voorkomt (voorbereiding op translaties)
• De symmetrie-as is herkenbaar in de abc-formule. Zonder deze af te leiden, kun je wel laten zien hoe die abc-formule is opgebouwd.
• De symmetrie-as kan het begin zijn van een afleiding van de abc-formule

Doelgroep: leerlingen klas 3, bij voorbereiding van abc-formule of bij opgaven om de top te zoeken.

Concepten: familie van functies (parameters), symmetrie van een parabool, representatie vormen van verbanden, gemiddelde, snijdende grafieken