Real life rekenles

Hier op de site van uitgeverij Zwijsen  is een link te vinden naar een online rekenles met Dolores Leeuwin (bekend van Het Klokhuis) en Martin Bootsma (verkozen tot Leerkracht van het jaar). Zij gebruiken daarvoor een aantal bladen van Real Life Rekenen. Aan de boekjes Exact voor groep 8 hebben een aantal van Geeke's studenten meegewerkt. Een mooie samenwerking waarbij deze beta leraren in opleiding kennis konden maken met de inhoud en manier van werken in het primair onderwijs en waar ze andersom met hun werkbladen een tipje van de sluier lichten van hun vakken in het voortgezet onderwijs.

Phil Daro tegen "answer getting"

In een filmpje van Phil Daro op Vimeo legt hij uit dat hem in de analyse van lessen in Amerika en Japan een subtiel, maar wezenlijk verschil opviel in de aanpak van de docent.

Aan het begin van zijn lezing zegt hij daarover: "It took years for me to finally see the obvious".

Hij beschrijft dit verschil als

• In Amerika: "How can I teach my kids to get the answer to this problem?"
• In Japan: "How can I use this problem to teach the mathematics of this unit?"

Deze verschillen blijken onafhankelijk van het talent van de docent en bovendien ook onafhankelijk van het type onderwijs dat de docent volgt (traditioneel of meer reform)

Verder gaat hij in op de vraag waarom leerlingen vraagstukken/problemen moeten oplossen. Hij benadrukt dat antwoorden een deel van het proces zijn en niet het produkt. Het produkt is de wiskundige kennis en know-how van de leerling. Natuurlijk is de correctheid van het antwoord ook een belangrijk deel van het proces.

Een andere interessante gedachte in Daro's betoog is de rol van foute antwoorden. Door te bedenken waarom het antwoord fout is, is het makkelijker tot de wiskunde te komen, dan wanneer een antwoord goed is, geeft hij aan. Daarnaast vertelde hij over een verwijt die een Japanse docent hen maakte over de Amerikaanse manier van lesgeven. Deze docent gaf aan dat in Amerika, een fout wordt gezien als het probleem van de leerling die die fout maakt, dat moet gediagnosticeerd en opgelost. In plaats daarvan kun je de foute aanpak ook zien als 'de kanarie in de mijn', als iets dat iedereen in de klas kan overkomen. Erover praten waarom het fout is zal ook de kennis van die leerlingen die het goede antwoord snel wisten verder verdiepen is de redenering.

Hij besluit met te zeggen dat er van alles aan het curriculum wordt toegevoegd, daarmee doelt hij op 'answer getting methods' en dat daarnaast van alles wordt weggelaten en daarmee doelt hij dan op de wiskunde.

Procenten deel 5: de eenheid

Voor het rekenen met procentuele toename of afname wordt er vaak gewerkt met contexten waarin de tijd een rol speelt. Het uitrekenen van de toename voldoet dan aan een formule als

percentuele toename =  ^{nieuw - oud} / _oud

(als je tenminste vooruit in de tijd kijkt..)

Vaak ligt het echter wat ingewikkelder dan het rekenen met deze formule. Bijvoorbeeld de opgave uit de eerste post in deze reeks.

Een winkelier verhoogt vlak voor de uitverkoop de prijs van een product met 20% om in de uitverkoop de prijs met 20% te verlagen zonder dat hij toe moet leggen op de oorspronkelijke prijs. Lukt dat zo?

Wat 'nieuw' is blijft hier niet 'nieuw'. Daarnaast zijn er veel situaties waar 'nieuw' en 'oud' weinig tot geen betekenis hebben zoals bij het berekenen van BTW.
Uit je hoofd leren van de formule (wat lastig is want je haalt makkelijk dingen door elkaar) heeft dus eigenlijk niet zoveel zin.

Uiteindelijk is de kern dat je bij procenten in de gaten moet houden wat de referentie hoeveelheid is. Dat is de eenheid specifiek voor de context. Daarnaast heb je met procenten ook altijd met 100% als eenheid te maken. Eigenlijk creeer je met procenten voor elke context een specifieke dubbele schaal. Bijvoorbeeld als de referentie hoeveelheid 500 is:

Zonder te rekenen kun je dus beredeneren dat het 'plannetje' van onze winkelier niet werkt. Immers in het eerste geval wordt 20% genomen van een lager bedrag dan de tweede keer. Er komt dus minder bij dan eraf gaat.

Bewustzijn van de eenheid maakt het makkelijker om te herkennen wanneer je door een factor moet delen of vermenigvuldigen, zoals bij het rekenen met BTW; onderwerp van de volgende en laatste post in deze serie.

Tenslotte nog een reclame filmpje waarin ze proberen te visualiseren hoe veel 14% is. De vraag is of je in dit soort situaties geïnteresseerd bent in de absolute of relatieve hoeveelheid; een klein percentage van veel kan nog steeds veel zijn...

Deze post is onderdeel van een serie over procenten:

Deel 1: opgaven (over een aantal mooie introductie opgaven)

Deel 2: strategieën verbinden (over via lager percentage rekenen naar rekenen met een factor)

Deel 3: structuur (over de structuur h / r = f )

Deel 4: procentuele toe- en afname (over overgang van additieve naar multiplicatieve strategie)

Deel 5: eenheid (over de tenminste twee eenheden die een rol spelen)

Pi-dag

14 maart (3-14): Pi-day.

Kate Bush zong de Pi-song

Ter ere van Pi-day heb ik een nieuw board op Pinterest gemaakt:

Wetenschap 101

Vandaag ontdekte ik een videoblog die net is gestart: wetenschap 101.
Het idee is om in filmpjes van maximaal 101 seconden een onderwerp uit de (beta) wetenschap toe te lichten. Het is een initiatief van Ionica Smeet en Govert Schilling, die respectievelijk uit de wiskunde en sterrenkunde hun inspiratie halen.

Gezien de lengte van de filmpjes zouden ze ideaal kunnen zijn in de start van een les.

Ik vond het volgende filmpje over een kaart truc in ieder geval erg leuk:

http://wetenschap101.nl/waarom-werkt-deze-truc-altijd/

Faculteit

Op internet vonden we het volgende filmpje waar faculteit de hoofdrol speelt.

De uitleg wordt gedaan aan de hand van het vullen van een boekenplank. Eerst met drie boeken en dan met 10. Daarna wordt er een verrekening naar tijd gemaakt; 116 jaar om alle mogelijke arrangements neer te zetten (bij 3 min per arrangemet, 30 uur per week, en 52 weken per jaar).

21022012

21 februari j.l. was een bijzondere dag: 21022012. Bijzonder omdat het nog niet zo vaak voorkomt dat een datum zo symmetrisch is, een palindroom.

In 2012 gaat het niet meer lukken. En in 2013, dan zouden we 31 februari moeten hebben, dat kan niet. Verder zoeken dan: 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019 zijn allemaal jaren zonder palindroom. Want een datum die begint met 41, 51, 61, 71, 81, 91 lukt niet.

Maar dan 2020: dat is weer een jaar met een palindroom! Op 2 februari 2020 is het weer een bijzondere dag. Dat kunnen we vast in de agenda zetten!

Datum	Palindroom
12 februari 2021	12022021
22 februari 2022	22022022
3 februari 2030	03022030
13 februari 2031	13022031
23 februari 2032	23022032
4 februari 2040	04022040
14 februari 2041	14022041
24 februari 2042	24022042
5 februari 2050	05022050
15 februari 2051	15022051
25 februari 2052	25022052
… enz…

Wanneer was de vorige palindroom? Even terugrekenen geeft een aantal palindromen dichtbij:

Datum	Palindroom
11 februari 2011	11022011
1 februari 2010	01022010
20 februari 2002	20022002
10 februari 2001	10022001

 Het bijzondere is dat we voor het palindroom voor 2001 ver terug moeten in de geschiedenis. Want in de jaren 1900, 1800, enzovoorts waren er geen palindromen, want er zijn geen maanden met nummer 91, 81 enzovoorts. Het palindroom voor 2001 was maar liefst in 1192, op 29 november. Dat is dus heel ver terug!

Procenten deel 4: procentuele toe- en afname

In de tweede post hebben we laten zien dat een belangrijke stap voor het rekenen met procenten in het voortgezet onderwijs is om de 1% strategie (zoals we hem voor het gemak hebben genoemd) te verbinden met het zien van procentrekenen als rekenen met factoren. In de vorige post hebben we meer naar de structuur van die factor gekeken en de procent benoemd als het relatief en gestandaardiseerd vergelijken van hoeveelheden.

In deze post besteden we aandacht aan een andere belangrijke stap: het zien van een percentuele toe- of afname in termen van het vermenigvuldigen met een factor. Aanvankelijk zullen leerlingen namelijk vaak als ze een toename moeten berekenen de toename apart berekenen en die daarna bij de oorspronkelijke hoeveelheid optellen. Bijvoorbeeld:

Vorig jaar zaten er 400 leerlingen op school. Dit jaar zijn dat er 25% meer.
Je rekent dan 25% van 400 uit, dat is 100. Dit jaar zijn er dan 400+100=500 leerlingen.
Je zou toe willen naar 1.25 x 400 = 500.

 Ik heb gemerkt dat het leerlingen helpt om te laten zien hoe deze twee manieren van rekenen samenhangen; ze de structuur te laten zien. Immers,

0.25 x 400 + 400 = 0.25 x 400 + 1 x 400 = 1.25 x 400.

Hetzelfde kun je doen voor procentuele afname; Bij een afname van het aantal leerlingen met 25% kan eerst de absolute afname worden berekend, die dan vervolgens wordt afgetrokken van het oorspronkelijke aantal, maar kan ook in één keer met een factor worden gerekend.

400 - 0.25 x 400 = 1 x 400 - 0.25 x 400 = 0.75 x 400

Je zou kunnen zeggen dat je van een additieve benadering naar een multiplicatieve benadering gaat.

Nu zijn er altijd leerlingen die deze multiplicatieve manier geen meerwaarde vinden hebben. Mijn ervaring is dat het volgende voorbeeld veel overredingskracht heeft. Ik laat ze uitrekenen wat het saldo op een rekening is na een jaar met een gegeven beginsaldo en rentepercentage. Dan van de eerste twee jaar. En dan ... over 30 jaar.

Een veel voorkomend type opgave bij dit onderwerp is het omgekeerde: namelijk om uit te rekenen om hoeveel procent toe- of afname het gaat. Ook dan kun je de additieve en multiplicatieve strategie aan elkaar koppelen. Bijvoorbeeld:

Het aantal leerlingen op een school neemt toe van 400 naar 440 leerlingen.
- Je kunt eerst de absolute toename berekenen: 40 leerlingen en dat omzetten in een percentage: 40 / 400 = 10 / 100 = 10%
- Je kunt er ook voor kiezen om die 440 te relateren aan de 400: 440 / 400 = 1,1. De 1 geeft de oorspronkelijke hoeveelheid van 400 leerlingen weer en daar komt dus 10% (of 0,1 deel) bij.

 Het aantal leerlingen op een school neemt af van 400 naar 380 leerlingen.
-Je kunt eerst de absolute afname berekenen (20 leerlingen) en dat omzetten in een percentage: 20 / 400 = 5 / 100 = 5%
-Je kunt berekenen welk deel 380 van 400 is: 380 / 400 = 0.95. De afname is dan 0.05 of 5%, immers de eenheid (1) is hier 400 leerlingen. 

Hier komt duidelijk naar voren dat je een absolute afname en een relatieve afname hebt. Het is soms jammer dat deze termen vaak later bij wiskunde worden gebruikt omdat ze voor leerlingen veel duidelijk kunnen maken. Ook speelt bij procentuele afname nog wel eens wat gerommel met de min, dat wordt duidelijker als leerlingen de structuur doorzien.

De multiplicatieve factor heeft niet alleen als voordeel dat het de weg opent naar opgaven als het berekenen van 30 jaar rente (op rente). Het kan ook gebruikt worden voor een discussie over de volgorde van bewerkingen.  De voorbeeld opgave uit de eerste post:

Een toerist koopt een souvenir in een winkel. Bij de kassa vraagt hij om eerst de teruggave van de BTW te berekenen en dan pas de sales-korting van 20%; hij krijgt dan meer BTW terug en is daarmee goedkoper uit is zijn redenering. Heeft de klant gelijk?

heeft nu een makkelijke oplossing: je vermenigvuldigt het bedrag eerst met de BTW factor en dan de kortingsfactor en dat geeft hetzelfde resultaat als eerst met de kortingsfactor vermenigvuldigen en dan de BTW factor.

Een andere manier om naar de opgave te kijken is om het begrip eenheid expliciet te maken. Dat wordt onderwerp van de volgende post in deze serie.

Deze post is onderdeel van een serie over procenten:

Deel 1: opgaven (over een aantal mooie introductie opgaven)
Deel 2: strategieën verbinden (over via lager percentage rekenen naar rekenen met een factor)
Deel 3: structuur (over de structuur ^h / _r = f )
Deel 4: procentuele toe- en afname (over overgang van additieve naar multiplicatieve strategie)

Interview met Dirk Huylebrouck

In VPRO's Labyrinth een interview met de Vlaamse wiskundige Dirk Huylebrouck voordat hij een presentatie zal geven op de Nederlandse Wiskunde Olympiade.

Hij vertelt onder andere over wat voor hem wiskunde is.

Hieronder de uitzending:

Waar is mijn water..

Het is ontzettend lastig om echt leuke apps voor kinderen te vinden die ook nog een zeker educatief doel dienen. Misschien ben ik vanuit mijn beroepsdeformatie ook wel veel te kritisch.... Alleen maar antwoorden op een rijtje sommen geven vind ik bijvoorbeeld niet veel meerwaarde hebben boven wat al op papier kan.

Laatst kwam ik een aardige app tegen. Het heet Where's my water en is van Disney. Naast logisch nadenken komt er ook wat natuurkundige kennis om de hoek (bv zwaartekracht en communicerende vaten). Het is de bedoeling dat je bij dit spel een weg van het water naar de douche van Swampy de krokodil vrij maakt.

De link naar de site waar meer over deze app te vinden is heb ik ook op onze Pinterest pagina gezet. Voor mensen die Pinterest niet kennen: dit is een website waarop je bij je profiel een soort moodboards aan kunt maken. Al surfend op internet kun je interessante afbeeldingen 'pinnen' / op één van je borden zetten. Elk bord geeft daarmee een overzicht over wat je hebt gevonden over een bepaald onderwerp. Het idee van Pinterest is onder andere dat je op deze manier mensen kunt vinden met ongeveer dezelfde smaak en interesses en zo gebruik kunt maken van de links die die ander heeft gevonden. Het voordeel van Pinterest vind ik vooral dat het werkt met afbeeldingen, wat voor mij zoeken snel maakt.

Een link naar onze Pinterest pagina is te vinden onder de rode knop bovenaan met een P erin. Onze borden zijn nog niet zo gevuld, daar werken we nog hard aan, maar nu ziet het er ongeveer zo uit:

Batje en balletje

In het maandoverzicht van februari van "de TV draait door" een wiskundesom.....

Een pingpongbatje en balletje kosten samen 1,10 euro. Het batje is een euro duurder dan het balletje. Wat kost het balletje?

Een gast van Harry Mens geeft het antwoord.....

Fragment begint bij 4:08 (rechtstreekse link naar begin fragment)

Procenten deel 3: structuur

Sommen over procenten hebben vaak één van de volgende vormen of varianten daarop:

• 40 % = . . . .
  een decimaal getal 0,4 of een breuk 2/5
• 10 % van 500 =
  uitrekenen van een deel van een geheel
• hoeveel procent is 70 van de 200?     
  deel-geheel omzetten in percentage
• 20 mensen, dat is 50% van het totaal. Totaal?             
  terugrekenen naar 100 %
• Hoeveel is de prijs zonder BTW?                                
  terugrekenen naar 100 %
• de prijs is eerst 80 en nu 100. Hoeveel procent erbij? 
  procentuele toe- of afname bepalen
• Je krijgt 2,6 % rente op 300 euro. Hoeveel is dat? 
  toe- of afname berekenen 

Vaak staan deze sommen een beetje los van elkaar en is er weinig aandacht voor de wiskundige structuur die onder het rekenen met procenten ligt en die deze sommen met elkaar verbindt tot één geheel.

In de kern zijn procenten een relatief begrip en is de procent een manier is om te standaardiseren. Relatief omdat een bepaalde hoeveelheid uitgedrukt wordt ten opzicht van een andere referentie hoeveelheid. Standaardiseren omdat die verhouding wordt omgezet naar een verhouding met 100. Oftewel, 5 van de 20, gestandaardiseerd tot 25 van de 100: 25%.
Net als bij breuken, waar het makkelijker is om bijvoorbeeld 0,4 en 0,4285.. te vergelijken dan 2/5 en 3/7, is het makkelijker om 25% en 33% te vergelijken dan '5 van de 20' met '10 van de 30'.

De procent, een relatief begrip dus. Bijvoorbeeld:

# voldoendes / # kinderen = deel voldoendes

We meten het aantal voldoendes af aan het aantal kinderen (in dit geval een nieuwe eenheid) dat meedeed aan de toets. Als je twee klassen wilt vergelijken die niet even groot zijn, dan spreekt het meer voor zich om naar het percentage voldoendes te kijken dan naar het absolute aantal voldoendes in de twee klassen. Bijvoorbeeld:

Klas A: 15 van de 20 voldoende, klas B: 20 van de 30 voldoende. Absoluut zijn er meer voldoendes in klas B (20 ten opzichte van 15), maar relatief meer in klas A (75% ten opzichte van 66,6%).

Voor klas A geldt immers:

15 /20 = 75 / 100 = 75 %  of 15/20 = 0.75

Nu komt naar voren dat er bij procenten sprake is van verschillende eenheden, dat maakt het misschien ook lastig. Het aantal kinderen in de klas (20 kinderen) is een eenheid, immers je meet het aantal voldoendes daar aan af. 100% is een eenheid voor de 75% voldoendes, net als 1 dat is voor de 0.75.

Met deze getallen kun je ook al een beetje spelen; 15 van de 20 kinderen een voldoende is 0.75 deel van de klas. 0.75 van 20 kinderen is dan weer 15 kinderen, én als 15 kinderen een voldoende hebben en dat is 0.75 deel, dan is 15:0.75 het aantal kinderen is de klas (20). Dat laatste is overigens gerelateerd aan een goed begrip van eenheden (als je weet hoeveel 3 appels kosten, dan deel je door 3 om de kosten van 1 appel te vinden..)

De algemene structuur is ^a / _b = c komt vaak voor in toepassing van wiskunde, in bijvoorbeeld natuurkundige contexten als snelheid of dichtheid. Voor een hoeveelheid (h), een referentie hoeveelheid (r), het percentage (p) en de factor (f) is dus:

^h / _r = ^p / ₁₀₀ = p %   of

^h / _r = f

Hier komt nu de ambiguïteit van breuken om de hoek, in ^h / _r herkennen we de breuk als een deling (die nog moet worden uitgevoerd) en in f de uitkomst van die deling. Tegelijkertijd is f de factor tussen h en r (in klas A: 0.75 x 15 = 20). De breuk als deling en uitkomst van die deling wordt wel proces-object dualiteit genoemd en is uitvoerig beschreven in bijvoorbeeld het werk van Anna Sfard, waar we in de toekomst ook nog een post aan zullen wijden.

Je kunt de relatie tussen h, r en f beschrijven in drie vormen:

^h / _r = f

h = r x f

r = ^h / _f

De verschillende opgaven aan het begin van deze post passen dan als volgt in de structuur:

^h / _r = f :      

hoeveel procent is 70 van de 200?                  70 / 200 = 35 / 100 = 0,35 of 35

40 % =                                                             40/100 = 0,4 

h = r x f:   

10 % van 500 =                                               10/100 x 500 = 50, immers 50/500=10/100

r = ^h / _f  :    

20 mensen, 50% vh totaal. Totaal?                 20/ 0,5 = 40, immers 20/40 = 50/100

In de volgende post gaan we verder op de structuur van procenten en dan met name op procentuele toe en afname.

Deze post is onderdeel van een serie over procenten:

Deel 1: opgaven (over een aantal mooie introductie opgaven)
Deel 2: strategieën verbinden (over via lager percentage rekenen naar rekenen met een factor)
Deel 3: structuur (over de structuur ^h / _r = f )
Deel 4: procentuele toe- en afname (over overgang van additieve naar multiplicatieve strategie)

Wiskunde en lego

Op deze blogpagina kwamen we een groeiende collectie van wiskunde met lego tegen.

Dat inspireerde tot een google-search en het resultaat was verbluffend.

Link naar blogpost over wetenschappelijk werk met lego als building blocks.
Bouwproblemen oplossen met wiskundig inzicht
Artikel over onderzoek naar leeropbrengsten bij gebruik lego in wiskunde en techniek lessen
Uitgebreide lijst met concrete lesideëen met lego, van kleuren leren en ordenen tot het rekenen met breuken.

Tot slot een reclame filmpje voor Lego serious play in education waar lego een meer onderwijskundige rol heeft, namelijk van het scheppen van een omgeving waarin leerlingen met elkaar samen werken en concepten in beelden omzetten.

Procenten deel 2: strategieën verbinden

Leerlingen rekenen met procenten aanvankelijk vaak door via 1% te rekenen. Moeten leerlingen bijvoorbeeld 15% van 600 euro uitrekenen, dan berekenen ze eerst 1%, dat is 6 en dan rekenen ze door naar de 15%. Dit kan met of zonder verhoudingstabel. Later rekenen leerlingen bijvoorbeeld direct via 'handige' percentages. Bijvoorbeeld 15% van 80 is te berekenen via 5%.

Euro	80	4	12
procent	100 %	5%	15 %

Op de middelbare school moeten leerlingen op een gegeven moment rekenen met procenten als een factor. Het percentage wordt omgezet in een decimaal getal, bijvoorbeeld een banksaldo over een bepaalde periode is te berekenen met 1,03³⁰

Onze ervaring is dat leerlingen niet altijd zomaar afscheid nemen van hun '1%'-strategie en gaan rekenen met decimale factoren. Nu werkt in sommige situaties het rekenen via 1% of een andere percentage prima, maar er zijn ook problemen waarbij dat (bijna) niet meer lukt (bijvoorbeeld met de laatste opgave in onze vorige post). Uiteindelijk moeten leerlingen dus ook de 'factor-strategie' gaan omarmen en bij voorkeur komt die niet los naast de eerdere strategie te staan.
Immers met de oude strategie is de overgang naar onder andere exponentiële functies en rekenen met rente op rente niet mogelijk. Maar juist het aan elkaar relateren van verschillende strategieën kan tot niveauverhoging leiden. Met inzicht in het rekenen met procenten als factoren worden ook vraagstukken als in deel 1 van deze serie posts een stuk eenvoudiger. De kunst is dus om de verschillende strategieën te verbinden.

Een eerste belangrijke voorwaarde om die verbinding te maken is dat leerlingen breuken kunnen interpreteren als een deling (4 : 5 = ⁴/₅). Dit blijkt voor leerlingen niet altijd vanzelfsprekend. Voor gehele getallen is verdelen vaak wel gekoppeld aan de bewerking delen, maar voor breuken is dat niet altijd meer zo.
Een tweede voorwaarde is dat leerlingen weten en begrijpen dat je bepaalde bewerkingen om kunt draaien. Bijvoorbeeld dat als je een getal eerst met 10 vermenigvuldigd en dan door 2 deelt, je hetzelfde resultaat krijgt als bij eerste delen door 2 en dan keer 10. Beide komt neer op het vermenigvuldigen met 5.

Vaak lukt het aan de hand van een concreet voorbeeld om te laten zien dat het rekenen via een lager percentage en het rekenen met een factor op hetzelfde neerkomt. Als je start met een concreet voorbeeld (15% van 80) dan kun je de bij de bijbehorende verhoudingstabel vragen wat je nu precies doet én of dat ook in één stap kan.

Euro	80	0.8	12
procent	100 %	1%	15 %

In de eerste stap deel je door 100 en daarna vermenigvuldig je met 15. Dat is hetzelfde als keer 15 gedeeld door 100 en dat komt neer op x 15/100 of x 0,15.

Of via de 5%: eerst delen door 20 en dan keer 3. Dat komt neer op x 3/20 en ook op x 0,15.

In de volgende post zullen we eerst ingaan op de structuren onder het rekenen met procenten en daarna verder gaan met het rekenen met procenten als factoren.


Deze post is onderdeel van een serie over procenten:

Deel 1: opgaven (over een aantal mooie introductie opgaven)
Deel 2: strategieën verbinden (over via lager percentage rekenen naar rekenen met een factor)
Deel 3: structuur (over de structuur ^h / _r = f )
Deel 4: procentuele toe- en afname (over overgang van additieve naar multiplicatieve strategie)

Vi Hart

De laatste weken is de naam Vi Hart een aantal keer op mijn pad gekomen. Al goochelend vind je bij haar naam een aantal erg leuke filmpjes.

Op geheel eigen wijze legt ze een aantal wiskundige principes uit. Op zeer hoog tempo, associërend, visueel, luchtig en in korte tijd.

Ze heeft een eigen blog, maar je vindt de fimpjes ook op youtube.
Hier een voorbeeld van zo'n filmpje. Het sprak me erg aan, omdat ze het inkleuren van de driehoek van Pascal beschrijft, iets dat ik zelf ook graag tijdens een saaie les deed. En al spelend ontdekte ik inderdaad de 'regels' die ze beschrijft.

Procenten deel 1: opgaven

Procenten komen we bijna dagelijks tegen. Hoewel de onderliggende structuur niet zo ingewikkeld is vinden veel mensen het toch heel lastig om met procenten te rekenen. Onder andere reden om in een aantal posts aandacht aan dit onderwerp te besteden. Bovendien is het onderwerp redelijk afgebakend en leent het zich prima om een aantal didactische concepten als ambiguïteit, stuctuur, samenhang, en niveauverhoging verder toe te lichten.

We beginnen deze serie posts met een paar voor leerlingen lastige procent-problemen.

1. Een winkelier verhoogt vlak voor de uitverkoop de prijs van een produkt met 20% om in de uitverkoop de prijs met 20% te kunnen verlagen zonder dat hij toe moet leggen op de oorspronkelijke prijs. Lukt dat zo?
2. Een toerist koopt een souvenir in een winkel. Bij de kassa vraagt hij om eerst de teruggave van de BTW te berekenen en dan pas de sales-korting van 20%; hij krijgt dan meer BTW terug en is daarmee goedkoper uit is zijn redenering. Heeft de klant gelijk?
3. In mijn dorp kwam ik onderstaand bord tegen. Van het hoofdkantoor had het filiaal doorgekregen dat er in de tweede ronde van de uitverkoop 80% korting op de oorspronkelijke prijs moest worden gegeven. In de eerste afprijsronde was alleen de nieuwe prijs over de oorspronkelijke geplakt. De verkoopster rekenden toen uit dat er nu 60% korting op de prijs van de eerste ronde moest worden gegeven. De grote vraag: hoeveel korting was er in de eerste ronde gegeven?

Lesidee: in een klas vertelde ik een van deze 'problemen' aan de leerlingen en vervolgens turfde ik op het bord de antwoorden van de klas. Ik kwam ongeveer uit op een 50-50 uitslag. Een mooie aanleiding om de verschillende manieren van oplossen met elkaar te vergelijken.

Bij de eerste vraag kan als vervolg gekeken worden naar een manier waarop dat wel zou kunnen.

In volgende posts zullen we onder andere ingaan op de structuur van het rekenen met procenten, het verbinden van oplossingsstrategieën en de ambiguïteit van procenten.

Deze post is onderdeel van een serie over procenten:

Deel 1: opgaven (over een aantal mooie introductie opgaven)
Deel 2: strategieën verbinden (over via lager percentage rekenen naar rekenen met een factor)
Deel 3: structuur (over de structuur ^h / _r = f )
Deel 4: procentuele toe- en afname (over overgang van additieve naar multiplicatieve strategie)

De balans in balans?

Voor het oplossen van lineaire vergelijkingen maken wiskundemethoden gebruik van het balansmodel. Aan de hand van dit model wordt uitgelegd dat je bij een vergelijking links en rechts hetzelfde mag doen.

Op de balans staan bijvoorbeeld zakjes met een onbekend aantal knikkers en losse knikkers, of verschillende soorten blokjes met een bekend en onbekend gewicht. Een voorbeeld is de vergelijking 4x + 1 = 9. In het blokjesmodel betekent dit dat vier blokjes met een onbekend gewicht (maar wel ieder blokje even zwaar) en een blokje van gewicht 1, gelijk is aan 9 blokjes van gewicht 1. Vervolgens wordt er op de balans met blokjes geschoven waardoor duidelijk wordt dat de vier blokjes samen gelijk zijn aan 8. En dus is het onbekende gewicht van het blokje: 2.

Hoewel het balansmodel veel gebruikt wordt, is het niet onomstreden. In de vakliteratuur zijn voor- en tegenstanders  te vinden. Als voordeel van het balansmodel wordt gezien dat het voor leerlingen heel concreet wordt gemaakt waarom links en rechts van een vergelijking hetzelfde mag worden gedaan. Als nadeel wordt gezien dat het model mank gaat bij negatieve getallen. Voorbeelden van zakjes met een onbekend aantal knikkers (Moderne Wiskunde) of blokjes met een onbekend gewicht (Getal & Ruimte) zijn lastig bij negatieve getallen.

In het gebruik van het balansmodel wordt vaak een belangrijke vraag vaak niet gesteld, namelijk: is de balans wel in balans? In het blokjes- en knikkermodel wordt er stilzwijgend vanuit gegaan dat de vergelijking één oplossing heeft. Maar in het algemeen is dat niet zo. En meer algemeen zou de vraag dan misschien niet zozeer moeten zijn wat de oplossing is van de vergelijking (want dat suggereert dat er precies 1 oplossing is), maar meer of er waarden van x zijn die aan de vergelijking voldoen.

In mijn onderzoek vroeg ik leerlingen de vergelijking 2(3x + 2) = 3(2x - 1) + 7 op te lossen. De haakjes wegwerken levert 6x + 4 = 6x + 4 (en dus zijn alle reële getallen oplossing van deze vergelijking). Bijna alle leerlingen wisten de haakjes goed weg te werken, maar slechts een enkele leerling wist de juiste conclusie te trekken. De verwachting dat de laatste regel in het oplossingsproces ‘x = getal’ moet zijn, bleek heel sterk.  Zo sterk dat veel leerlingen uit de regel 0 = 0 concludeerden x = 0.

Een bredere benadering van het balansmodel, met een meer open vraagstelling, laat ruimte open voor vergelijkingen met geen of oneindig veel oplossingen. Ook biedt deze manier van vragen ruimte om verbindingen te leggen naar het snijgedrag van lijnen. Lijnen kunnen snijden, maar ook evenwijdig lopen en samenvallen. 

Verbanden zoeken

Op de blog Continuous everywhere, but differentiable nowhere, vonden we deze post.

De post gaat over het vragen van oud-leerlingen om iets te vertellen in de klas. Op zich een goed idee. We vonden de post erg interessant om het wat één van deze oud-leerlingen had gezegd. ...
Namelijk dat het niet erg is om te worstelen met wiskunde; dat dat er juist bij hoort. En .. dat goed zijn in wiskunde te maken heeft met zelfvertrouwen. En misschien nog wel belangrijker de opmerking dat wiskunde over meer gaat dan de procedures.

Zouden deze uitspraken betekenen dat we in het onderwijs niet genoeg uitleggen aan leerlingen waarom we die vervelende "explain" of "waarom" vraag stellen?
En is dat stellen van de waarom vraag de meest efficiënte manier? Moeten we meer expliciete aandacht besteden aan de verbanden? Juist als we bedenken dat onderzoek van bijvoorbeeld Femke Nijland (zie deze post) laat zien dat de op produkt gerichte cultuur in de klas heel sterk kan zijn. En de opmerking van deze oud-leerling  verwoordt nu net dat de gerichtheid op de procedures niet effectief is:

"He [oud-leerling] stopped looking at each test as something that needed to be crammed for the night before. Instead, each night he would work on understanding the material. And when doing this, he saw connections." (citaat uit de post van Continuous everywhere, but differentiable nowhere) 

Compartmentalization

In mijn onderzoek heb ik de term compartmentalization (met onze vertaling: verkokering) gebruikt voor het fenomeen dat ik in schoolboeken tegenkwam (zie post). Een van de inspiratiebronnen voor de keuze voor dat woord is een artikel van Yrjö Engeström geweest: Non scolaer sed vitae discimus: Toward overcoming the encapsulation of school learning.

In dit artikel beschrijft Engeström onder andere hoe er verschillende modellen worden gebruikt voor het uitleggen van de "phases of the moon" en "lunar eclipse". Hij heeft twee problemen met deze modellen. Als tweede noemt hij dat het model niet door de leerlingen zelf wordt gemaakt, maar in zijn uiteindelijke vorm wordt voorgeschoteld. Vooral het door hem als eerste probleem geformuleerde triggerde me. Engeström verwoordt dat als volgt:

"First, the relationship between the phases of the moon (especially the new moon) and the lunar eclipse is not problematized in any of the textbooks. The lunar eclipse is presented with the help of an equally simple and graphic diagram as the one used in connection with the phases of the moon. But it is presented as the next topic, neatly separated from the discussion of the phases of the moon. This is a prime example of the “discrete tasks” Levy (1976) named as the basic form of compartmentalization. The connection is never worked out. Obviously there is no automatic guarantee that such connections are realized in everyday learning outside school either."

Het voorbeeld geeft wat mij betreft duidelijk aan waarom verkokering ongewenst is. En het heeft duidelijke overeenkomsten met wat ik verkokering van het vermenigvuldigen van breuken heb genoemd.
Het voorbeeld laat ook zien dat verkokering in allerlei soorten onderwijs kan voorkomen. In mijn onderzoek kwam het voor in een 'realistische' methode. Het voorbeeld van Engeström gaat over veel meer traditioneel onderwijs.

Deelbaarheid door 9

Als een getal deelbaar is door 9, dan is de som van zijn cijfers dat ook.

 Sterker nog de som van de cijfers geeft bij delen door 9 dezelfde rest als wanneer het getal zelf door 9 wordt gedeeld.

Even een testje: 8760 : 9 = 973 rest 3 en (8+7+6+0) : 9 = 21 : 9 = 2 rest 3. KLOPT!!

Nu is deze post geen pleidooi om deze inmiddels steeds minder bekende 'deelbaarheidsregel' een verplicht onderdeel van het (reken-)wiskunde curriculum te maken. Ik schrijf er hier over uit een soort nostalgische redenen--ik weet nog dat mijn leraar in klas 6 van de basisschool probeerde uit te leggen hoe het zat; begreep er toen niets van maar vond het wel errug interessant--, en omdat ik wat aardige filmpjes tegenkwam op internet die hier gebruik van maken. Ik hoop dat het u op ideëen brengt.....

Hoe zit dat nu ..
Je kunt de boel wat formeler bekijken: een getal als bijvoorbeeld 81 kun je schrijven als
8 * 10 + 1 = 8 * (9 +1) + 1 = 8 * 9 + 8 + 1.

In zijn algemeenheid zou je kunnen zeggen dat het getal ab te schrijven is als
10a + b = 9a + a + b

Deel je door 9 dan houdt je 8 + 1 of a + b over.

Meer informeel zou je kunnen zeggen dat als je ergens 9 bij optelt, je er ook voor kunt kiezen om er 10 bij op te tellen en er dan weer 1 vanaf te halen. Of te wel: het tiental gaat 1 omhoog en de eenheid 1 omlaag. Samen blijft het evenveel. Beginnend bij 9 is dat totaal dus altijd 9. Dit gaat in ieder geval op tot 90, voor hogere getallen moet je nog even wat verder redeneren.

Op het honderd-veld is dit overigens heel mooi te zien aan de veelvouden van 9. En eventueel kleur je alle getallen met rest 1 groen, rest 2 blauw, rest 3 geel, enz.

Toepassingen (in de breedste zin van het woord)
Deze eigenschap van delen door 9 of deelbaarheidsregel kwam ik zo maar ineens op heel verschillende plekken tegen..

Onze aannemer vertelde vol trots toen we het over rekenen hadden, dat hij vroeger de negenproef had geleerd. Voor het hoofdrekenen een makkelijke controle van de uitkomst.

De tafel van 9 op je vingers
Bij de tafel van 9 is het leerlingen vast wel eens opgevallen dat de cijfers samen altijd 9 zijn: 1 + 8 = 9, 2 + 7 = 9 , enz. Nu hebben we 10 vingers, negen vingers en één vinger om aan te geven welk veelvoud we hebben moeten de bedenkers van de volgende truc/ezelsbrug gedacht hebben......

Gedachtenlezen
Tot slot lijkt het me een mooie uitdaging voor leerlingen in het VO om onderstaande truc te doorgronden: