In eerdere posts (het = teken en de rol van variabelen) hadden we het al over ambiguïteit.
Een heel heldere uiteenzetting over dit begrip heeft in Euclides gestaan in een stuk van de hand van Ronald Meester (pagina 26 van de pdf).
Meester legt o.a. door referenties naar het werk van William Byers een aantal voorbeelden van ambiguïteit uit en geeft aan wat het belang is van ambiguïteit voor de wiskunde.
Het stuk is zeer de moeite van het lezen waard. Hier een tweetal citaten uit het stuk om u lekker te maken:
"Byers laat in zijn boek zien dat wiskunde vooral gaat over ambiguïteit, en veel minder over precisie en logica; de kracht (en schoonheid) van de wiskunde wordt vooral bepaald door de manier waarop ze met ambiguïteit om weet te gaan. Het beschouwen en oplossen van een ambiguïteit is de kern van het bedrijven van wiskunde."
"Dit is niet makkelijk in de praktijk te brengen, dat geef ik onmiddellijk toe, maar dat mag geen reden zijn om het niet te doen. Wiskunde wordt beduidend leuker wanneer je op een speelse manier leert om te gaan met ambigue situaties dan wanneer ze in een ‘definitie-keurslijf ’ wordt gepropt waarin ze zich niet kan ontwikkelen."
Bron: Ronald Meester. In reactie op Hessel Pot. Euclides 85/2 pp 76-77
In de literatuur is veel te vinden over waarom wiskunde moeilijk wordt gevonden door veel mensen. Een van de thema’s die daar een rol in speelt is ambiguïteit. Zo is de breuk ¾ zowel de deling van 3 door 4, als het resultaat van die deling. Afhankelijk van de situatie is het handig om ¾ als een deling te zien of juist als een zelfstandig object. Een ander voorbeeld is de expressie 2x + 3. Dit is zowel de optelling van 2x en 3, als het resultaat van die optelling. In onze onderzoeken hebben we gezien dat leerlingen worstelen met deze verschillende betekenissen.
Verschil in betekenis wordt in de literatuur ook beschreven met betrekking tot variabelen. Vergelijk het verschil in betekenis van x in de vergelijkingen x + 3 = 5 en y = ax + b. In de eerste is x een getal met een nog onbekende waarde, een onbekende. In de tweede vergelijking, de algemene vergelijking van een lijn, heeft x een andere rol. Hier is x niet een waarde die we nog niet kennen, geen onbekende, maar staat x voor zomaar een getal.
Een docent informatica uit het HO vertelde dat zijn eerstejaars studenten moeite hadden met die verschillende rollen van variabelen. Een bepaalde relatie (prefix zijn, d.w.z. een ononderbroken beginstuk zijn) werd weergegeven met het symbool ≤. Vervolgens moesten studenten eigenschappen bewijzen van die relatie. Ze verwarden daarbij de betekenis van het symbool ≤ ; ze dachten in de relatie tussen getallen (kleiner dan) in plaats van de betekenis die zojuist in een definitie aan dat symbool was toegekend (namelijk: prefix zijn).
We denken dat leerlingen en studenten kunnen worden geholpen in hun worsteling met ambiguïteit als die verschillende rollen worden besproken en als duidelijk wordt hoe die verschillende betekenissen met elkaar samenhangen.
De afgelopen jaren --en vooral tijdens mijn promotie als je daar ook de tijd voor neemt-- heb ik veel nagedacht over wat wiskunde nu voor mij is, wat het betekent om wiskundige te zijn, te doen, enzovoort. Vragen waarop je het antwoord natuurlijk nooit helemaal in woorden kunt uitdrukken. Maar af en toe doe je wel een poging net als vele anderen.
Andrew Wiles spreekt tot de verbeelding en op youtube heb ik met veel belangstelling de documentaire die over hem is gemaakt bekeken. (De link staat onderaan deze post).
De documentaire begint met Andrew Wiles die het volgende zegt:
"Perhaps I could best describe my experience of doing mathematics in turns of entering a dark mansion. One goes into the first room and it's dark, really dark. One stumbles around bumping into the furniture. And gradually you learn where each piece of furniture is. And finally after six months or so you find the light switch, you turn it on and suddenly it is all illuminated. You can see exactly where you were."
Voor mij is dit citaat veelbetekend. Ik heb het daarom ook in mijn proefschrift voor mijn inleiding gezet. Ten eerste laat het zien dat wat zo'n voldoening kan geven aan wiskunde: de zoektocht en wat doorzetten je oplevert. Het beetje bij beetje verder komen. Een schril contrast met de geplaveide wegen die leerlingen soms krijgen aangeboden (zie bv post over kritiek op schoolboeken van Dan Meyer).
Zo is er ook een mooi citaat van W.S. Anglin:
"Mathematics is not a careful march down a well-cleared highway, but a journey into a strange wilderness, where the explorers often get lost. Rigor should be a signal to the historian that the maps have been made, and the real explorers have gone elsewhere."
Ten tweede verwoordt het iets dat Anna Sfard reïficatie noemt: de kwartjes vallen en ineens wordt alles duidelijk. Deze stap is nodig om tot niveauverhoging te komen; om voort te kunnen bouwen op de eerdere wiskunde die je hebt geleerd. Het belang van het herkennen van de structuur.
En dat is zelfs bij de meest elementaire wiskunde zo. Hoe meer ik met de didactiek van het rekenen bezig ben, hoe meer ik (her) ontdek in die basis, en waardeer hoe mooi het in elkaar zit.
Hier de documentaire over "Fermat's last theorem" en het werk van Andrew Wiles
Met een meisje uit groep 5 had ik een gesprek over het leren van de tafels. Ze legde uit hoe ze 8 x 6 uitrekent. Ze had daar een handige truc voor geleerd, zo vertelde ze, en liet zien hoe ze dat gaat.
“Eerst doe je 2 x 6,” zei ze. “Dat is makkelijk, dat is 12. Dan maak je van die 8 in het sommetje 8 x 6 een 4 van de 8. Vervolgens doe je 2 x 12. Dat is eh, even denken, dat is 24. En dan maak je van die 4... eh…nou weet ik het even niet, wordt dat dan een 2 of een 4? Ik denk een 4, want twee keer vier is acht. Dus dan moet je nog 24 x 4. Maar dat kan ik niet uitrekenen!”
Natuurlijk is het zomaar een gesprekje, met maar 1 leerling. Toch denk ik dat dit voorbeeld een probleem in het huidige rekenonderwijs illustreert. Geeke heeft in haar proefschrift laten zien dat het rekenonderwijs verkokerd is. Daarmee bedoelt ze dat er getal- en gevalspecifieke strategieën worden aangeleerd. Het gevaar hiervan is dat rekenen een soort trucjes uit je hoofd leren wordt met voor elk sommetje een andere truc. Waarom de trucjes werken is dan niet meer zo duidelijk.
De strategie waar deze leerling aan refereert bij het uitrekenen van 8 x 6 gaat om het verdubbelen. Een bekende strategie, die zeker zijn waarde heeft. Maar de waarde van die strategie wordt vooral bepaald door het begrip dat erbij hoort. Echt goed begrijpen dat vermenigvuldigen met 8 overeenkomt met 3 keer verdubbelen, is nog niet zo eenvoudig. Daarvoor moet je snappen dat 8 = 2 x 2 x 2, en dat in plaats van in een keer x 8 doen hetzelfde is als x 2, dan nog eens x 2 en dan nog eens. Het meisje in dit voorbeeld had die relatie nog niet gelegd. En als die relatie er niet is, dan verwordt die verdubbelingsstrategie tot een truc, die zomaar fout kan gaan.
Gisteren keek ik op televisie naar Guido Weijers. Er kwam een erg leuk stukje statistiek langs, over de misconcepten die je daarbij kunt hebben. Jammer dat ik op dit moment niet voor de klas sta ....
(het fragment begint bij 54:07, directe link naar start fragment hier)
Al een hele poos geleden kwam ik een TED filmpje tegen van Dan Meyer.
Op een moment in dat fimpje zegt hij ongeveer het volgende . .
"I hope that you can see .... that what we are doing here is that we are taking a compelling question, a compelling answer. .. but we are paving a smooth straigth path from one to the other and congrateluating our students on how well they can step over the small cracks in the way. " dat zijn punt redelijk samenvat.
Hij laat op zeer humoristische wijze zien dat de manier waarop opgaven in de Amerikaanse schoolboeken zijn opgebouwd, leerlingen precies stapje voor stapje voorschrijven wat ze moeten doen. Hij vat het resultaat als volgt samen: lack of initiative - lack of perseverance - lack of retention - aversion to word problems - eagerness for formula. Hij noemt dit "impatient problem solving". Leerlingen leren niet blijvend, ze zijn altijd op zoek naar een formule die ze in moeten vullen, weinig geduld als het even niet lukt, enzovoort.
Zijn oplossing is om de opgaven uit te kleden tot de essentie van het probleem, zonder de gegevens alvast te geven. Ook het bedenken van wat je nodig hebt om een probleem op te lossen vindt hij een belangrijk onderdeel voor het wiskundecurriculum. En geeft hij aan: "be less helpfull". En dat is natuurlijk best lastig als je als docent het onderwijs in gaat omdat je leerlingen juist wilt helpen.
Het punt dat Meyer maakt is ook herkenbaar in het Nederlandse onderwijs en ligt misschien wel dicht tegen de houding die ook in het onderzoek van Femke Nijland naar voren kwam (zie onze eerdere post over haar proefschrift). Ook in ons onderzoek hebben we gemerkt dat leerlingen opgaven die even buiten de gebaande paden lagen met veel moeite wisten te beantwoorden of helemaal niet.
