Variabelen kunnen verschillende rollen hebben. Zo kan een x staan voor één enkel, maar onbekend getal. Maar x kan ook staan voor verschillende waarden. In mijn promotieonderzoek heb ik leerlingen gevraagd de volgende vergelijking op te lossen 2 (3x + 2) = 3(2x + 1) + 7. Als de haakjes zijn weggewerkt, dan komt er te staan 6x + 4 = 6x + 4. Het besef dat deze vergelijking klopt welk getal je ook neemt voor x bleek heel lastig voor VWO-leerlingen. De overgrote meerderheid wist de haakjes goed weg te werken, bracht de x-en naar links en de getallen naar de rechterkant van het =-teken. Vervolgens kwam er 0 = 0 te staan, en bleek het moeilijk om daar de betekenis van te zien.
In een aanvullende studie naar deze vergelijking legde ik leerlingen naast deze vergelijking, nog twee andere vergelijkingen voor. De tweede was 2(3x + 2) = 3(2x + 1) + 5 die 6x + 4 = 6x + 8 geeft na het wegwerken van de haakjes en dus geen oplossingen heeft. En de derde vergelijking 2(3x + 2) = 2(2x + 1) + 8 waar x = 3 uitkomt.
De laatste vergelijking ging veruit het beste: daar gebeurt namelijk precies dat wat leerlingen verwachten en eindigt de laatste regel op x = getal. De tweede vergelijking, waar die eindigt op 6x + 4 = 6x + 8, of 4 = 8, ging al een heel stuk minder goed. Deze druiste al aardig in tegen de verwachting dat de laatste regel x = getal moet zijn. Het grootste probleem bleek toch de eerste.
De moeilijkheid van deze vergelijking kan worden verklaard vanuit het idee van verschillende rollen van de variabele x. De verwachting dat de laatste regel x = getal moet zijn, is gebaseerd op het idee dat x één getal is, een onbekende die gevonden moet worden. Dat is een andere rol dan in de situatie waar links en rechts van het =-teken hetzelfde komt te staan. Want in die situatie heeft x niet een vaste (maar nog onbekende) waarde, maar kan x voor veel verschillende waarden staan. Voor leerlingen is dat een grote overgang.
Wat te doen?
Een abstract verhaal in de klas over de ambiguïteit van variabelen lijkt me geen goed idee. Wel denk ik dat het verstandig is om bij het oplossen van vergelijkingen koppelingen te maken naar de betekenis. Die betekenis kan zijn wat voor getallen kunnen we voor x invullen opdat deze vergelijking klopt. Dit geeft de mogelijkheid om het te hebben over een, of meerdere oplossingen of geen oplossingen.
Ook kan er een koppeling worden gelegd naar het snijgedrag van lijnen zoals wat kunnen lijnen doen (snijden, evenwijdig lopen, samenvallen) en wat voor type lineaire vergelijking hoort daar dan bij (1 oplossing, 0 oplossingen, alle reële getallen als oplossing). Deze koppeling geeft leerlingen handvaten om conclusies te trekken uit expressies als 0 = 0.
Geen opmerkingen:
Een reactie posten