Lesidee: de symmetrie-as van een parabool

In de klassen 3 die ik heb les gegeven, merkte ik dat een deel van de leerlingen het lastig vindt om zich bij de abc-formule het hoe en waarom van zo'n formule voor te stellen.

In de VWO klassen heb ik die abc-formule daadwerkelijk samen met de leerlingen afgeleid. Een hele 'onderneming' maar erg de moeite waard. Ik begon dan met het afleiden van een algemene formule voor de symmetrie-as van een parabool. Dat laatste is ook een geschikte activiteit als je niet van plan bent om de abc-formule met een klas af te leiden, bijvoorbeeld als het niveau van de leerlingen daar niet de mogelijkheid voor geeft. Het leverde me een aantal voordelen:

• leerlingen kregen inzicht in het ontstaan van dergelijke formules, de abc-formule kwam niet meer zomaar uit de hoge hoed.
• door het herkennen van de symmetrie-as krijgt de abc-formule een ander gezicht, daar herkennen leerlingen dan ineens de symmetrie in.
• bij de afleiding kun je de representatievormen van een verband (tabel, grafiek en formule) met elkaar verbinden.
• het is een mooie oefening in het rekenen met letters, en het denken in families van functies en parameters

Stap 1: de symmetrie van een parabool

Afhankelijk van wanneer deze les ingepast wordt kan er op verschillende manieren aandacht besteed worden aan de symmetrie van een parabool. Belangrijk is dat leerlingen ontdekken dat als je de parabool op willekeurig plek snijdt met een horizontale lijn, die snijpunten even ver van de symmetrie-as liggen. Dat kan in een tabel en een grafiek. De symmetrie-as vind je dan door het gemiddelde van de x-waarden te nemen. De top van de parabool ligt op de symmetrie-as.

Stap 2: de symmetrie-as vinden in een concreet geval

Je zou dat kunnen doen met bijvoorbeeld: y = 2x² + 5x + 7

Ontbinden in factoren (ofwel snijpunten met x-as te vinden) is voor dit geval niet handig. Daarom vraag ik de leerlingen of er niet een andere lijn dan y = 0 is te vinden, waardoor een vergelijking ontstaat die wel makkelijk op te lossen is. We komen dan op y=7 en 2x² + 5x + 7 = 7 om op te lossen. Dat wordt opgelost als

2x² + 5x = 0,
x(2x + 5) =0
x = 0 of x = -2,5

De snijpunten van de parabool met de lijn y = 7 zijn: (0,7) en (-2.5,7). De symmetrie-as ligt bij
x = -1,25. De top van de parabool kan in dit geval ook nog uitgerekend worden door deze x-waarde in te vullen.

Stap 3: de symmetrie-as vinden voor y = ax² + bx + c

In deze stap kun je laten zien dat er je op dezelfde manier als in het eerste voorbeeld de symmetrie-as kunt vinden voor deze 'algemene' parabool. Het is voor leerlingen inzichtelijk als de twee berekeningen naast elkaar staan. Op eenzelfde manier wordt dan de parabool gesneden met y = c en worden de snijpunten (0, c) en (-b/a,c) gevonden. De symmetrie-as is dus x = -b/2a.

Stap 4: de formule gebruiken

Nu is het tijd om de gevonden formule te gebruiken. Dat doe ik vaak voor het voorbeeld dat we eerst hebben gebruikt: y = 2x² + 5x + 7 . Leerlingen kunnen dan zien welk voordeel zo'n formule heeft: de berekening is erg eenvoudig en kort. Ook de top is op deze manier snel gevonden. Leerlingen leren op deze manier alvast om te gaan met het benoemen en invullen van a, b en c in een formule die veel eenvoudiger is dan de abc-formule en waarvan ze bovendien de betekenis erg goed kennen omdat ze de formule zelf hebben gevonden.

Vervolg

Mijn ervaring is dat een deel van de leerlingen de formule daadwerkelijk gaat gebruiken, ook al was dat niet eens de eerste opzet van deze les. Op verschillende manieren kun je doorgaan op deze les.

• Leerlingen vragen waarom de 'c' niet in de formule voorkomt (voorbereiding op translaties)
• De symmetrie-as is herkenbaar in de abc-formule. Zonder deze af te leiden, kun je wel laten zien hoe die abc-formule is opgebouwd.
• De symmetrie-as kan het begin zijn van een afleiding van de abc-formule

Doelgroep: leerlingen klas 3, bij voorbereiding van abc-formule of bij opgaven om de top te zoeken.

Concepten: familie van functies (parameters), symmetrie van een parabool, representatie vormen van verbanden, gemiddelde, snijdende grafieken